Qual è il nome del metodo di stima della densità in cui tutte le coppie possibili vengono utilizzate per creare una distribuzione della miscela normale?

Ho appena pensato a un modo pulito (non necessariamente buono) per creare stime di densità monodimensionali e la mia domanda è:

Questo metodo di stima della densità ha un nome? In caso contrario, è un caso speciale di qualche altro metodo in letteratura?

Ecco il metodo: Abbiamo un vettore che presumiamo sia tratto da una distribuzione sconosciuta che vorremmo stimare. Un modo per farlo è quello di prendere tutte le possibili coppie di valori in X e per ogni coppia [ x i , x j ] i ≠ j adattare una distribuzione normale usando la massima verosimiglianza. La stima della densità risultante è quindi la distribuzione della miscela che consiste in tutte le Normali risultanti, in cui a ciascuna Normale viene assegnato lo stesso peso.$X = [x_1,x_2,...,x_n]$$X$$[x_i,x_j]_{i \neq j}$

La figura seguente illustra l'utilizzo di questo metodo sul vettore . Qui i cerchi sono i punti di riferimento dei dati, le normali colorate sono le distribuzioni di massima verosimiglianza stimate usando ogni coppia possibile e la linea nera spessa mostra la stima della densità risultante (cioè la distribuzione della miscela).$[-1.3,0.15,0.73,1.4]$

A proposito, è davvero facile implementare un metodo in R che preleva un campione dalla distribuzione della miscela risultante:

# Generating some "data"
x <- rnorm(30)

# Drawing from the density estimate using the method described above.
density_estimate_sample <- replicate(9999, {
  pair <- sample(x, size = 2)
  rnorm(1, mean(pair), sd(pair))
})

# Plotting the density estimate compared with 
# the "data" and the "true" density.
hist(x ,xlim=c(-5, 5), main='The "data"')
hist(density_estimate_sample, xlim=c(-5, 5), main='Estimated density')
hist(rnorm(9999), xlim=c(-5, 5), main='The "true" density')

Questa è un'idea intrigante, perché lo stimatore della deviazione standard sembra essere meno sensibile agli outlier rispetto ai soliti approcci radice-media-quadrata. Tuttavia, dubito che questo stimatore sia stato pubblicato. Ci sono tre ragioni per cui: è computazionalmente inefficiente, è di parte, e anche quando il bias è corretto, è statisticamente inefficiente (ma solo un po '). Questi possono essere visti con una piccola analisi preliminare, quindi facciamo prima quello e poi traggiamo le conclusioni.

Analisi

$\mu$$\sigma$$(x_i, x_j)$

$$\hat\mu(x_i,x_j) = \frac{x_i+x_j}{2}$$

e

$$\hat\sigma(x_i,x_j) = \frac{|x_i-x_j|}{2}.$$

Pertanto il metodo descritto nella domanda è

$$\hat\mu(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \frac{2}{n(n-1)} \sum_{i\gt j} \frac{x_i+x_j}{2} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i,$$

che è il solito stimatore della media e

$$\hat\sigma(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \frac{2}{n(n-1)}\sum_{i\gt j}\frac{|x_i-x_j|}{2} = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{i,j}|x_i-x_j|.$$

$E = \mathbb{E}(|x_i-x_j|)$$i$$j$

$$\mathbb{E}(\hat\sigma(x_1, x_2, \ldots, x_n)) = \frac{1}{n(n-1)}\sum_{i,j}\mathbb{E}(|x_i-x_j|) = E.$$

$x_i$$x_j$$2\sigma^2$$\sqrt{2}\sigma$$\chi(1)$$\sqrt{2/\pi}$

$$E = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sigma.$$

$2/\sqrt{\pi} \approx 1.128$

$\hat\sigma$

conclusioni

1. $\hat\sigma$$n=20,000$

   

2. $\sum_{i,j}|x_i-x_j|$$O(n^2)$$O(n)$$n$$10,000$R. (Su altre piattaforme i requisiti di RAM sarebbero molto più piccoli, forse con un leggero costo in termini di tempo di calcolo.)

3. È statisticamente inefficiente. Per dargli il miglior risultato, consideriamo la versione imparziale e confrontiamola con la versione imparziale dei minimi quadrati o dello stimatore della massima verosimiglianza

   $$\hat\sigma_{OLS} = \sqrt{\left(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(x_i - \hat\mu\right)^2\right)} \frac{(n-1)\Gamma((n-1)/2)}{2\Gamma(n/2)}.$$

   R$n=3$$n=300$$\hat\sigma_{OLS}$$\sigma$

poi

$\hat\sigma$

---

Codice

sigma <- function(x) sum(abs(outer(x, x, '-'))) / (2*choose(length(x), 2))
#
# sigma is biased.
#
y <- rnorm(1e3) # Don't exceed 2E4 or so!
mu.hat <- mean(y)
sigma.hat <- sigma(y)

hist(y, freq=FALSE,
     main="Biased (dotted red) and Unbiased (solid blue) Versions of the Estimator",
     xlab=paste("Sample size of", length(y)))
curve(dnorm(x, mu.hat, sigma.hat), col="Red", lwd=2, lty=3, add=TRUE)
curve(dnorm(x, mu.hat, sqrt(pi/4)*sigma.hat), col="Blue", lwd=2, add=TRUE)
#
# The variance of sigma is too large.
#
N <- 1e4
n <- 10
y <- matrix(rnorm(n*N), nrow=n)
sigma.hat <- apply(y, 2, sigma) * sqrt(pi/4)
sigma.ols <- apply(y, 2, sd) / (sqrt(2/(n-1)) * exp(lgamma(n/2)-lgamma((n-1)/2)))

message("Mean of unbiased estimator is ", format(mean(sigma.hat), digits=4))
message("Mean of unbiased OLS estimator is ", format(mean(sigma.ols), digits=4))
message("Variance of unbiased estimator is ", format(var(sigma.hat), digits=4))
message("Variance of unbiased OLS estimator is ", format(var(sigma.ols), digits=4))
message("Efficiency is ", format(var(sigma.ols) / var(sigma.hat), digits=4))