Dimostrare o fornire un controesempio:

Se , allora $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$

Il mio tentativo :

FALSO: Supponiamo che possa assumere solo valori negativi e supponiamo $X$ $X_n \equiv X$ $\forall$ $n$

ALLORA , tuttavia anche per , non è strettamente negativo. Al contrario, alterna negativo a posotivo e negativo. Pertanto, non converge quasi sicuramente a . $X_n$ $\,{\buildrel a.s. \over \rightarrow}\,$ $X$ $n$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $(\prod_{i=1}^{n}X_i)^{1/n}$ $X$

È una risposta ragionevole ?? In caso contrario, come posso migliorare la mia risposta?

self-study convergence geometric-mean

— Lewkrr
fonte

X_{i}

$X_i$ deve essere strettamente positivo affinché questo sia significativo.

— user765195

Ovviamente, hai bisogno di per definire . Innanzitutto prova che converge in come (google "Cesaro significa" in Analisi reale e adatta l'argomento). Quindi, considera .

X_{i} > 0

$X_i>0$

G_{n} = (\prod_{i = 1}^{n} X_{i})^{1 / n}

$G_n=(\prod_{i=1}^n X_i)^{1/n}$

A_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n} / n

$A_n=\sum_{i=1}^n X_n/n$

X

$X$

L_{n} = \log G_{n}

$L_n=\log G_n$

— Zen

Il risultato reale analisi necessari è questo: se , quindi . Prova: per qualsiasi , esiste un tale che , per ogni . Pertanto, . Quindi, se scegliamo , allora , per ogni .

x_{n} \to L

$x_n\to L$

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n \to L

$\sum_{i=1}^n x_i/n\to L$

ϵ > 0

$\epsilon>0$

n_{0} \geq 1

$n_0\geq 1$

| x_{n} - L | < ϵ / 2

$|x_n-L|<\epsilon/2$

n \geq n_{0}

$n\geq n_0$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | \leq \sum_{i = 1}^{n_{0}} | x_{i} - L | / n + \sum_{i = n_{0} + 1}^{n} | x_{i} - L | / n < n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / n + ϵ / 2

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|\leq \sum_{i=1}^{n_0}|x_i-L|/n+\sum_{i=n_0+1}^{n}|x_i-L|/n<n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/n + \epsilon/2$

n_{1} > 2 n_{0} max_{1 \leq i \leq n_{0}} | x_{i} - L | / ϵ

$n_1>2\,n_0\max_{1\leq i\leq n_0}|x_i-L|/\epsilon$

| \sum_{i = 1}^{n} x_{i} / n - L | < ϵ

$|\sum_{i=1}^n x_i/n - L|<\epsilon$

n \geq n_{1}

$n\geq n_1$

— Zen,

L'intuizione è che stai calcolando la media con sempre più che sono sempre più vicini a e finiscono per dominare il risultato.

x_{i}

$x_i$

L

$L$

— Zen,

Risposte:

Prima di dimostrare qualcosa di interessante, nota che quasi sicuramente per tutti non è una condizione necessaria affinché entrambe le affermazioni abbiano un senso, come illustra la sequenza deterministica . $X_i >0$ $i$ $(-1, -1, 1, 1, 1, \dots)$

Inoltre, l'affermazione è effettivamente falsa in generale, come dimostra la seguente sequenza deterministica: . $(0, 1, 1, \dots)$

Supponiamo ora quasi sicuramente per tutti , quindi l'affermazione è vera con il seguente argomento: $X_i >0$ $i$

DefinisciPer contro di , quasi sicuramente. Pertanto, quasi sicuramente con un risultato per Cesaro significa anche dimostrato nei commenti sopra. Quindi, per continuità di , quasi sicuramente.

S_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \log (X_{i}) .

$S_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\log(X_i).$

x \mapsto \log (x)

$x\mapsto \log(x)$

\log (X_{n}) \to \log (X)

$\log(X_n)\to\log(X)$

S_{n} \to \log (X)

$S_n \to\log(X)$

x \mapsto \exp (x)

$x\mapsto \exp(x)$

{(\prod_{i = 1}^{n} X_{i})}^{1 / n} \to X,

$\left(\prod_{i=1}^nX_i\right)^{1/n}\to X,$

— Ekvall
fonte

Questa affermazione è falsa. Fornisco una prova fornendo un controesempio.

Supponiamo che la sequenza casuale sia definita come segue: $X_i$

\begin{aligned} Z_{i} & \sim N (0, 1 / i), i i d, \forall i \in N \\ X_{i} & = 1_{{i \neq 1}} + 1_{{i \neq 1}} Z_{i}, i \in N \end{aligned}

$\begin{align} Z_i &\sim N(0,1/i), iid, \; \forall i \in \mathbb{N} \\ X_i &= 1_{\{i \neq 1\}} + 1_{\{i \neq 1\}}Z_i, \; i \in \mathbb{N} \end{align}$

Chiaramente, è (1) degenerato e (2) converge quasi sicuramente in come secondo la forte legge di Chebyshev di grandi numeri. (Per vedere questo, riscrivi per .) $X_i$ $X=1$ $i \longrightarrow \infty$ $Z_i = i^{-0.5}Z$ $Z \sim N(0,1)$

Tuttavia, poiché , . Di conseguenza, , quindi nel limite converge banalmente a , cioè . $X_1 = 0$ $\Pi_{i=1}^nX_i = 0, \; \forall n \in \mathbb{N}$ $(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0, \forall n \in \mathbb{N}$ $0$ $lim_{n\longrightarrow \infty}(\Pi_{i=1}^nX_i)^{1/n} = 0$ $\square$

— Jeremias K
fonte

Sembra che tu abbia dimenticato l' esponente .

1 / n

$1/n$

— whuber

Grazie whuber, l'ho risolto :) Dovrei davvero lavorare sulla lettura delle cose con più attenzione ... Ho anche prima dimostrato che anche l'affermazione non per perché ho non ha letto correttamente.

Π_{i = 1}^{n} X_{i}^{1 / i}

$\Pi_{i=1}^nX_i^{1/i}$

— Jeremias K

Grazie. Tutti questi calcoli sembrano oscurare una semplice idea: se è diverso da zero, non modificherai il limite cambiando qualsiasi numero finito di a zero, ma ciò renderà il prodotto zero e otterrai una contraddizione. Giusto. Tuttavia, a meno che non ci venga detto diversamente, le dichiarazioni sui prodotti infiniti dovrebbero essere intese come dichiarazioni sulle somme infinite dei logaritmi. In particolare, l'interesse per questa domanda si concentra sul caso in cui ogni è quasi sicuramente strettamente positivo .

X

$X$

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

— whuber

@whuber quell'ultimo commento è interessante. È davvero vero che i limiti dei prodotti sono per convenzione, o forse per definizione (?), Intesi in termini di logaritmi? In tal caso, cambierei anche il testo della mia risposta sopra. In particolare, l'ultimo appello alla continuità sarebbe superfluo.

— ekvall

@Student Il ragionamento nella tua risposta va bene. Nelle applicazioni statistiche è raro che qualcuno guardi un tale limite di mezzi geometrici a meno che non stessero già pensando in termini di logaritmi.

— whuber