Per la prima parte, prendi e nota che
Quindi, per qualsiasi , che definisce , abbiamo
quando , implica che .x,a,ϵ>0
|x−−√−a−−√|≥ϵ⇒|x−−√−a−−√|≥ϵa−−√a−−√⇒|x−−√−a−−√|≥ϵa−−√x−−√+a−−√⇒|(x−−√−a−−√)(x−−√+a−−√)|≥ϵa−−√⇒|x−a|≥ϵa−−√.
ϵ>0δ=ϵa−−√Pr(|Xn−−−√−a−−√|≥ϵ)≤Pr(|Xn−a|≥δ)→0,
n→∞Xn−−−√→Pra−−√
Per la seconda parte, prendi di nuovo e cheat dalla risposta di Hubber (questo è il passaggio chiave ;-) per definire
Ora,
Il contrappunto di questa affermazione è
x,a,ϵ>0
δ=min{aϵ1+ϵ,aϵ1−ϵ}.
|x−a|<δ⇒a−δ<x<a+δ⇒a−aϵ1+ϵ<x<a+aϵ1−ϵ⇒a1+ϵ<x<a1−ϵ⇒1−ϵ<ax<1+ϵ⇒∣∣ax−1∣∣<ϵ.
∣∣ax−1∣∣≥ϵ⇒|x−a|≥δ.
Pertanto,
quando , implica che .
Pr(∣∣∣aXn−1∣∣∣≥ϵ)≤Pr(|Xn−a|≥δ)→0,
n→∞aXn→Pr1
Nota: entrambi gli elementi sono conseguenze di un risultato più generale. Prima di tutto ricorda questo Lemma: se e solo se per qualsiasi esiste una tale che quasi sicuramente quando . Inoltre, ricorda da Real Analysis che è continuo in un punto limite di se e solo se per ogni sequenza in sostiene che implica . Quindi, se{ n i } ⊂ N { n i j } ⊂ { n i } X nXn→PrX{ni}⊂N{nij}⊂{ni}Xnij→Xj→∞g:A→RxA{xn}Axn→xg(xn)→g(x)gè continuo e quasi sicuramente, quindi
e ne consegue che quasi sicuramente. Inoltre, essendo continuo e , se selezioniamo una , quindi, usando Lemma, esiste una tale che quasi sicuramente quando . Ma poi, come abbiamo visto, ne consegue che quasi sicuramente quandoXn→Xg( X n )→g(X)g
Pr(limn→∞g(Xn)=g(X))≥Pr(limx→∞Xn=X)=1,
g(Xn)→g(X)gXn→PrX{ni}⊂N{nij}⊂{ni}Xnij→Xj→∞j → ∞ { n i } ⊂ N g ( X n ) Pr → g ( X ) g ( x ) = √g(Xnij)→g(X)j→∞. Poiché questo argomento vale per ogni , usando Lemma nell'altra direzione, concludiamo che . Quindi, per rispondere alla tua domanda puoi semplicemente definire le funzioni continue e , per , e applicare questo risultato.
{ni}⊂Ng(Xn)→Prg(X) h(x)=a/xx>0g(x)=x−−√h(x)=a/xx>0