Combinazione lineare di due non normali casuali che è ancora un membro della stessa famiglia

È noto che una combinazione lineare di 2 variabili normali casuali è anche una variabile normale casuale. Esistono famiglie di distribuzione non normali comuni (ad es. Weibull) che condividono anche questa proprietà? Sembra che ci siano molti controesempi. Ad esempio, una combinazione lineare di uniformi non è in genere uniforme. In particolare, esistono famiglie di distribuzione non normali in cui sono vere entrambe le seguenti condizioni:

Una combinazione lineare di due variabili casuali di quella famiglia equivale a una distribuzione in quella famiglia.
I parametri risultanti possono essere identificati in funzione dei parametri originali e delle costanti nella combinazione lineare.

Sono particolarmente interessato a questa combinazione lineare:

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

dove e sono campionati da una famiglia non normale, con i parametri e , e proviene dalla stessa famiglia non normale con il parametro . $X_1$ $X_2$ $\theta_1$ $\theta_2$ $Y$ $\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$

Sto descrivendo una famiglia di distribuzione con 1 parametro per semplicità, ma sono aperto a famiglie di distribuzione con più parametri.

Inoltre, sto cercando ad esempio uno o più spazi di parametri su e con cui lavorare a fini di simulazione. Se riesci a trovare solo un esempio che funziona con alcuni e molto specifici , sarebbe meno utile. $\theta_1$ $\theta_2$ $\theta_1$ $\theta_2$

distributions linear

— Anthony
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Grazie. Sto davvero cercando famiglie non normali comuni (ad es. Weibull). Cercherò anche di chiarire che i parametri risultanti dovrebbero essere funzioni dei parametri originali per un'ampia varietà di parametri originali. Cioè, ci dovrebbe essere un sacco di spazio di parametri con cui lavorare a fini di simulazione.

— Anthony,

Supponendo che stiamo parlando di combinazioni lineari arbitrarie di variabili casuali indipendenti , ci sono le distribuzioni stabili (Lévy) . L'intera classe di tali distribuzioni è pienamente caratterizzata dalla loro funzione caratteristica che assume una certa forma. Solo pochi eletti hanno densità con espressioni in forma chiusa note.

— cardinale il

Le scuderie alfa menzionate da @cardinal sono una risposta e, se capisco correttamente, l'unica risposta se i parametri devono essere posizione e scala, ma ci sono altre risposte se i parametri non devono essere posizione + scala? (Anche se questo è forse così lontano da ciò che OP voleva che fosse una domanda separata).

— Juho Kokkala,

Sono interessato alle risposte anche se i parametri non sono posizione e scala.

— Anthony,

@Juho Credo che la risposta in generale sia sì. Le somme di distribuzioni corrispondono a somme (puntuali) di funzioni di generazione cumulativa (definite come il logaritmo della funzione caratteristica), quindi la chiusura di un insieme di distribuzioni sotto somma è contenuta naturalmente nell'insieme di tutte le distribuzioni che sono (reali) combinazioni lineari di quei cgf.

— whuber

Risposte:

La distribuzione normale soddisfa una buona identità di convoluzione: $X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$ . Se ti riferisci al teorema del limite centrale, ad esempio, quelle distribuzioni gamma con lo stesso coefficiente di forma condivideranno quella proprietà e si trasformerebbero in distribuzioni gamma. Si prega di consultare una nota cautelativa relativa all'invocazione del teorema del limite centrale . In generale, tuttavia, con coefficienti di forma disuguali, le distribuzioni gamma si "aggiungerebbero" con una convoluzione che non sarebbe una distribuzione gamma ma piuttosto una funzione gamma che moltiplica una funzione ipergeometrica del primo tipo come si trova in Eq. (2) di convoluzione di due distribuzioni gamma . L'altra definizione di aggiunta, che sta formando una distribuzione mista di processi non correlati, non mostrerebbe necessariamente alcun limite centrale, ad esempio, se i mezzi sono diversi.

Probabilmente ci sono altri esempi, non ho fatto una ricerca esaustiva. La chiusura per convoluzione non sembra essere inverosimile. Per una combinazione lineare, il prodotto di Pearson VII con un Pearson VII è un altro Pearson VII .

— Carl
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Puoi aggiungere variabili casuali Gamma indipendenti con lo stesso parametro di scala e ottenere un'altra gamma con lo stesso parametro di scala, ma non puoi prendere combinazioni lineari arbitrarie. Esistono diverse distribuzioni note per le quali è possibile prendere somme ma non combinazioni arbitrarie lineari e rimanere all'interno di quella famiglia. (C'è già una risposta cancellata qui che fa lo stesso errore)

— Glen_b -Reinstate Monica

È vero che la convoluzione di due distribuzioni gamma , vedi Eq. 2, produce qualcosa di diverso da una distribuzione gamma, se questo è ciò che intendi.

— Carl

L'articolo afferma chiaramente che una combinazione lineare di gamme non è gamma (a parte la stessa eccezione che ho già menzionato) e appare completamente coerente con ciò che ho detto. Non sono sicuro di cosa mi stai chiedendo, ma l'articolo supporta la mia affermazione che la tua risposta sembra affermare qualcosa che non è il caso.

— Glen_b -Restate Monica

Non chiedere, dicendo qual è la somma in generale. Ho modificato la risposta per dire "alcuni". Se ciò non è abbastanza buono, eliminerò il mio umile tentativo di aiutare. E che sto chiedendo "Abbastanza buono o no?"

— Carl

Ora è un po 'debole per una risposta. Potresti voler spostare alcune delle informazioni dal tuo commento fino alla risposta (le informazioni relative a ciò che era nel documento e il link ad esso, almeno, anche se includerei un riferimento adeguato)

— Glen_b -Reinstate Monica

È noto che una combinazione lineare di 2 variabili normali casuali è anche una variabile normale casuale. Esistono famiglie di distribuzione non normali comuni (ad es. Weibull) che condividono anche questa proprietà?

$\mathscr{P}$ $\mathcal{P} \in \mathscr{P}$

X_{1}, X_{2}, X_{3} \sim IID P ⟹ (\forall a) (\forall b) (\exists c > 0) (\exists d) : a X_{1} + b X_{2} \overset{Dist}{\sim} c X_{3} + d .

$X_1, X_2, X_3 \sim \text{IID } \mathcal{P} \quad \quad \implies \quad \quad (\forall a) (\forall b) (\exists c>0) (\exists d): \ aX_1 + bX_2 \overset{\text{Dist}}{\sim} c X_3 + d.$

$d=0$

Le distribuzioni Levy-stable possono essere considerate una famiglia di distribuzioni a sé stante, e in questo senso è l'unica famiglia di distribuzioni con questa proprietà di stabilità, poiché (per definizione) comprende tutte le distribuzioni con questa proprietà. La distribuzione normale rientra nella classe delle distribuzioni stabili a Levy, così come la distribuzione di Cauchy , la distribuzione di Landau e la distribuzione di Holtsmark .

— Ben - Ripristina Monica
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