Una somma ponderata delle variabili casuali gaussiane p ∑ i = 1 β i X i
è una variabile casuale gaussiana : se
( X 1 , … , X p ) ∼ N p ( μ , Σ ) quindi
β T ( X 1 , … , X p ) ∼ N 1 ( βX1,…,Xp
∑i=1pβiXi
(X1,…,Xp)∼Np(μ,Σ)
βT(X1,…,Xp)∼N1(βTμ,βTΣβ)
Una miscela di densità gaussiane ha una densità data come somma ponderata delle densità gaussiane : che è quasi invariabilmente non uguale a un gaussiano densità. Vedere ad esempio la densità della miscela stimata in blu di seguito (dove la banda gialla è una misura della variabilità della miscela stimata):
f(⋅;θ)=∑i=1pωiφ(⋅;μi,σi)
[Fonte: Marin e Robert, Bayesian Core , 2007]
X∼f(⋅;θ)
X=∑i=1pI(Z=i)Xi=XZ
Xi∼Np(μi,σi)ZP(Z=i)=ωiZ∼M(1;ω1,…,ωp)