Questa distribuzione ha un nome? O cos'è un processo stocastico che potrebbe generarlo?

Una distribuzione discreta con funzione di massa

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)}, x = 1, 2, \dots

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)},\quad x = 1,2,\ldots$

sorge a pagina 9 di questo documento .

Per $k=1$ è una distribuzione di Yule-Simon con $\rho=1$ , ma non ho trovato altri esempi.

ha un nome? Appare in altri contesti? Esiste un semplice processo stocastico che potrebbe generarlo?

distributions

— Simon Byrne
fonte

È una legge di potere discreta.

(Questa è una descrizione - il cui significato sarà precisato di seguito - piuttosto che un termine tecnico. La frase "legge del potere discreto" ha un significato tecnico leggermente diverso, come indicato da @Cardinal nei commenti a questa risposta.)

Per vedere questo, osserva che la decomposizione della frazione parziale può essere scritta

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)} = \frac{1}{1 + (x - 1) / k} - \frac{1}{1 + x / k} .

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)} = \frac{1}{1 + (x-1)/k} - \frac{1}{1 + x/k}.$

Il CDF si telescopica in una forma chiusa:

\begin{aligned} CDF (i) = \sum_{x = 1}^{i} p (x; k) \\ = & [\frac{1}{1 + 0 / k} - \frac{1}{1 + 1 / k}] + [\frac{1}{1 + 1 / k} - \frac{1}{1 + 2 / k}] + \dots + [\frac{1}{1 + (i - 1) / k} - \frac{1}{1 + i / k}] \\ = & \frac{1}{1 + 0 / k} + [- \frac{1}{1 + 1 / k} + \frac{1}{1 + 1 / k}] + [- \frac{1}{1 + 2 / k} + \dots + \frac{1}{1 + (i - 1) / k}] - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & 1 + 0 + \dots + 0 - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & \frac{i}{i + k} . \end{aligned}

$\eqalign{ &\text{CDF}(i) = \sum_{x=1}^i p(x;k) \\ = &[\frac{1}{1 + 0/k} - \frac{1}{1 + 1/k}] + [\frac{1}{1 + 1/k} - \frac{1}{1 + 2/k}] + \cdots + [\frac{1}{1 + (i-1)/k} - \frac{1}{1 + i/k}] \\ = &\frac{1}{1 + 0/k} + [- \frac{1}{1 + 1/k} + \frac{1}{1 + 1/k}] + [ - \frac{1}{1 + 2/k} + \cdots + \frac{1}{1 + (i-1)/k}] - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &1 + 0 + \cdots + 0 - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &\frac{i}{i+k}. }$

(Per inciso, perché questo è facilmente invertita, fornisce immediatamente un modo efficiente per generare variabili aleatorie di questa distribuzione: è sufficiente calcolare dove è distribuito in modo uniforme su .) $\lceil \frac{k u}{1 - u} \rceil$ $u$ $(0,1)$

Differenziare questa espressione rispetto a mostra come il CDF possa essere scritto come integrale, $i$

CDF (i) = \frac{i}{i + k} = \int_{0}^{i} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} = \sum_{x = 1}^{i} \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}},

$\text{CDF}(i) = \frac{i}{i+k} = \int_0^i \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2} = \sum_{x=1}^i \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2},$

da dove

p (x; k) = \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} .

$p(x;k) = \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2}.$

Questa forma di scrittura mostra come parametro di scala per la famiglia di distribuzioni (continue) determinata dalla densità $k$

f (ξ) d ξ = (1 + ξ)^{- 2} d ξ

$f(\xi)d\xi = (1 + \xi)^{-2}\, d\xi$

e mostra come è la versione discretizzata di (ridimensionata da ) ottenuta integrando la probabilità continua nell'intervallo da a . Questa è ovviamente una legge di potere con esponente . Questa osservazione ti dà accesso a una vasta letteratura sulle leggi di potere e su come si presentano in scienza, ingegneria e statistica, che può suggerire molte risposte alle tue ultime due domande. $p(x;k)$ $f$ $k$ $x-1$ $x$ $-2$

— whuber
fonte

(+1) Dalla funzione di massa della probabilità, è chiaro che come , il che sembra essere sufficiente per concludere che si tratta di una distribuzione di potere-legge. In effetti, come .

p (x; k) \sim k x^{- 2}

$p(x; k) \sim k x^{-2}$

x \to \infty

$x \to \infty$

p (x; k) x^{2} / k ↑ 1

$p(x;k) x^2 / k \uparrow 1$

x \to \infty

$x \to \infty$

— cardinale il

@cardinal Hai ragione, ma c'è un limite a questo argomento: mostra solo che è asintoticamente una legge di potere. I calcoli mostrano che è esattamente una versione discretizzata di una legge di potere.

p

$p$

— whuber

Non sono del tutto sicuro della distinzione che stai cercando di disegnare. Sfortunatamente, non ho avuto la possibilità di pensarci attentamente, ma sembra che tu stia definendo una distribuzione discreta della legge del potere come una versione discretizzata di una distribuzione continua della legge del potere. Sto interpretando correttamente il tuo commento? Ad ogni modo, quando vedo riferimenti a leggi sul potere discreto in letteratura, la definizione abituale sembra essere quella più debole (cioè asintotica) che ho usato. (cont.)

— cardinale il

(Cont.) D'altra parte, una distribuzione Zipf sembrerebbe la più pura possibile di una legge di potere discreta, ma non credo che possa essere generata come una discretizzazione di una legge di potere continua. Ho frainteso il tuo intento? (A proposito, il tuo sviluppo sopra è abbastanza bello. Il riconoscimento della somma telescopica per il cdf è ottimo, così come il riconoscimento di un semplice schema di campionamento.)

— Cardinale

Bene, dopo un po 'più di indagine, ho trovato qualche dettaglio in più.

È un caso speciale di una miscela continua di una distribuzione geometrica con una Beta, quindi potrebbe essere definita una distribuzione geometrica Beta . In particolare, se: e: la distribuzione marginale di ha questa distribuzione. Come tale, è un caso speciale di una distribuzione binomiale beta-negativa .

P \sim B e t a (1, k)

$P \sim \mathrm{Beta}(1,k)$

X | P \sim G e o m e t r i c (P)

$X|P \sim \mathrm{Geometric}(P)$

Y = X + 1

$Y = X+1$

Ha un paio di altre proprietà interessanti:

Ha una media infinita
Descrive la propria distribuzione di coda: se ha questa distribuzione con il parametro , allora ha il parametro . $X$ $k$ $X-t | X>t$ $t+k$

— Simon Byrne
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