La covarianza di variabili standardizzate è la correlazione?

Ho una domanda di base. Dire che ho due variabili casuali, e . Posso standardizzarli sottraendo la media e dividendo per la deviazione standard, cioè $X$ $Y$ . $X_{standardized} = \frac{(X - E(X))}{(SD(X))}$

La correlazione di e , uguale alla covarianza delle versioni standardizzate di e ? Cioè, è $X$ $Y$ $Cor(X, Y)$ $X$ $Y$ ? $Cor(X, Y) = Cov(X_{standardized}, Y_{standardized})$

correlation covariance standardization

— Jake Fisher
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Sì.

${}{}{}{}{}$

— Dilip Sarwate,

Quindi, sì!

\begin{aligned} corr (X, Y) & = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \\ Cov (X_{standardizzato}, Y_{standardizzato}) & = E [(\frac{(X - E (X))}{(S D (X))} - 0) \times (\frac{(Y - E (Y))}{(S D (Y))} - 0)] \\ = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{corr}(X,Y)&=\frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)}\\ \operatorname{Cov}(X_{\text{standardized}}, Y_{\text{standardized}}) &=E\Bigg[\Bigg(\frac{(X - E(X))}{(SD(X))}-0\Bigg)\times\Bigg(\frac{(Y - E(Y))}{(SD(Y))}-0\Bigg)\Bigg]\\ &= \frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)} \end{align}$

— Hemant Rupani
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Che cosa???? Il lato destro della prima equazione è una variabile casuale mentre il lato sinistro è una costante.

— Dilip Sarwate,

Errr no. La domanda riguarda la correlazione e la covarianza delle variabili casuali mentre la tua risposta riguarda la correlazione e la covarianza del campione . Ad esempio, il risultato ha chiesto di conservare variabili casuali continue mentre nella migliore delle ipotesi ciò che si applica si applica solo a variabili casuali discrete che assumono valori

con uguale probabilità

(X_{1}, Y_{1}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$

\frac{1}{n}

$\frac 1n$

— Dilip Sarwate,

Non proprio. Non è necessario gli indici

a tutti, così ho davanti andato e cancellato, e migliorato la presentazione un po '. Sentiti libero di tornare indietro se non ti piacciono le modifiche.

i

$i$

— Dilip Sarwate,

Stai prendendo SD (X) e SD (Y) fuori dalle aspettative. Spiega un po 'di più il ragionamento di questo passaggio.

— Erdogan CEVHER,

Le costanti @Erdogan possono essere prese al di fuori della funzione Expected () senza modifiche.

— Hemant Rupani,