Differenza nei mezzi contro differenza media

Quando studiamo due mezzi di campionamento indipendenti, ci viene detto che stiamo osservando la "differenza di due mezzi". Questo significa che prendiamo la media dalla popolazione 1 ( ) e sottraggiamo da essa la media dalla popolazione 2 ( ). Quindi, la nostra "differenza di due mezzi" è ( - ). $\bar y_1$ $\bar y_2$ $\bar y_1$ $\bar y_2$

Quando si studiano i campioni accoppiati, ci viene detto che stiamo osservando la "differenza media", . Questo viene calcolato prendendo la differenza tra ogni coppia e quindi prendendo la media di tutte quelle differenze. $\bar d$

La mia domanda è: otteniamo lo stesso ( - ) rispetto al suo se li da due colonne di dati, e la prima volta lo considerassimo due campioni indipendenti, e la seconda volta lo considerammo accoppiato dati? Ho giocato con due colonne di dati e sembra che i valori siano gli stessi! In tal caso, si può dire che i diversi nomi sono usati solo per ragioni non quantitative? $\bar y_1$ $\bar y_2$ $\bar d$

paired-comparisons paired-data mean

— user84756
fonte

Pensaci in questo modo: come calcoleresti con dati non accoppiati?

\bar{d}

$\bar d$

— Shadowtalker,

@ssdecontrol Soprattutto se le dimensioni del campione sono diverse.

— Alexis,

Risposte:

(Presumo che tu intenda "campione" e non "popolazione" nel tuo primo paragrafo.)

L'equivalenza è facile da mostrare matematicamente. Inizia con due campioni di uguali dimensioni, e . Quindi definire $\{x_1,\dots,x_n\}$ $\{y_1,\dots,y_n\}$

\begin{aligned} \bar{x} & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \\ \bar{y} & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i} \\ \bar{d} & = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} - y_{i} \end{aligned}

$\begin{align} \bar x &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \\ \bar y &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \\ \bar d &= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i - y_i \end{align}$

Quindi hai:

\begin{aligned} \bar{x} - \bar{y} & = (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i}) - (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} y_{i}) \\ = \frac{1}{n} (\sum_{i = 1}^{n} x_{i} - \sum_{i = 1}^{n} y_{i}) \\ = \frac{1}{n} ((x_{1} + \dots + x_{n}) - (y_{1} + \dots + y_{n})) \\ = \frac{1}{n} (x_{1} + \dots + x_{n} - y_{1} - \dots - y_{n}) \\ = \frac{1}{n} (x_{1} - y_{1} + \dots + x_{n} - y_{n}) \\ = \frac{1}{n} ((x_{1} - y_{1}) + \dots + (x_{n} - y_{n})) \\ = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{i} - y_{i} \\ = \bar{d} . \end{aligned}

$\begin{align} \bar x - \bar y &= \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i \right) - \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n x_i - \sum_{i=1}^n y_i \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( \left( x_1 + \dots + x_n \right) - \left( y_1 + \dots + y_n \right) \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( x_1 + \dots + x_n - y_1 - \dots - y_n \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( x_1 - y_1 + \dots + x_n - y_n \right) \\ &= \frac{1}{n} \left( \left( x_1 - y_1 \right) + \dots + \left( x_n - y_n \right) \right) \\ &= \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n x_i - y_i \\ &= \bar d. \end{align}$

— shadowtalker
fonte

Ma due intervalli di confidenza calcolati per "la differenza della media" e "la differenza della media" saranno diversi, giusto? Questo può essere visto guardando e . Una "differenza media" accoppiata sarà diversa per (che è tutto zero) rispetto a (che non è tutto zero); la differenza dei mezzi non è influenzata dall'ordine degli elementi.

A = [1, 2, 3, 4, 5, . . .]

$A = [1, 2, 3, 4, 5, ...]$

B = [. . ., 5, 4, 3, 2, 1]

$B = [..., 5, 4, 3, 2, 1]$

A - A

$A - A$

A - B

$A - B$

— bers

Non riesco più a modificare il mio post precedente. Il 3 ° frase dovrebbe iniziare "Una sequenza di coppie di 'differenze medie' ..."

— Bers

@bers cosa c'entra con esso?

A - A

$A-A$

— Shadowtalker,

Si supponga . Quindi e sono due sequenze diverse. L'intervallo di confidenza per la differenza media abbinata sarà sicuramente diverso in entrambi i casi. Ma la differenza dei mezzi, e quindi è l'intervallo di confidenza, sarà identica sia per che per . O mi sbaglio?

C = A

$C=A$

A - C

$A-C$

A - B

$A-B$

A - C

$A-C$

A - B

$A-B$

— bers

@bers Penso che tu sia confuso, ma sono confuso su ciò di cui sei confuso.

— Shadowtalker,

la distribuzione della differenza media dovrebbe essere più stretta della distribuzione della differenza media. Vedi questo con un semplice esempio: media nel campione 1: 1 10 100 1000 media nel campione 2: 2 11 102 1000 differenza di mezzi è 1 1 2 0 (a differenza dei campioni stessi) ha un piccolo standard.

— Vlad
fonte