La mediana è una proprietà "metrica" o "topologica"?

Mi scuso per il leggero abuso di terminologia; Spero che sia chiaro cosa intendo di seguito.

Si consideri una variabile casuale . Sia la media che la mediana possono essere caratterizzate da un criterio di ottimalità: la media è quel numero che minimizza e la mediana quel numero che minimizza . In questa prospettiva, la differenza tra media e mediana è la scelta della "metrica" per valutare le deviazioni, il quadrato o il valore assoluto. $X$ $\mu$ $\mathrm E((X - \mu)^2)$ $\mathrm E(|X - \mu|)$

D'altra parte, la mediana è quel numero per il quale (assumendo la continuità assoluta), cioè questa definizione dipende solo dalla capacità di ordinare i valori di ed è indipendente da quanto differiscono. Una conseguenza di ciò è che per ogni funzione strettamente crescente , , nel senso che è "topologico" nel senso di invarianza sotto trasformazioni "simil-gomma". $\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$ $X$ $f(x)$ $\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$

Ora ho fatto i conti e so che partendo dal criterio di ottimalità posso arrivare al quantile , quindi entrambi descrivono la stessa cosa. Ma sono ancora confuso, perché la mia intuizione mi dice che qualcosa che dipende da una "metrica" non può portare a una proprietà "topologica". $\frac12$

Qualcuno può risolvere questo indovinello per me?

mean median

— A. Donda
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Bel titolo! :-)

— Luis Mendo,

Il difetto del tuo ragionamento è che qualcosa che dipende da una metrica non può essere una proprietà topologica.

Prendi la compattezza degli spazi metrici. Questo può essere definito in termini di metrica: compattezza significa che lo spazio è completo (dipende dalla metrica) e totalmente limitato (dipende dalla metrica). Si scopre però che questa proprietà è un invariante sotto l'omeomorfismo e, in effetti, può essere definita in termini di sola topologia (sottofiniture finite di qualsiasi copertina, nel solito modo).

Un altro esempio sono le varie teorie sull'omologia. Solo l'omologia singolare è veramente topologica nella sua definizione. Tutti gli altri, semplici, cellulari, De Rham (coomologia, ma mi concedono un po 'di scioltezza), ecc., Dipendono da una struttura extra, ma risultano essere equivalenti (e un po' più facili da lavorare).

Questo risulta molto in matematica, a volte il modo più semplice per definire qualcosa è in termini di una struttura accessoria, e quindi viene dimostrato che l'entità risultante, in realtà, non dipende affatto dalla scelta della struttura accessoria.

— Matthew Drury
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Grazie per la risposta! Sembra che tu stia prendendo la mia terminologia più seriamente di quanto pensassi possibile. Devo ammettere che ho solo la conoscenza più elementare degli spazi topologici e metrici, quindi questa potrebbe essere una domanda stupida: capisco che l'uso di una struttura accessoria rende la vita più semplice anche se non strettamente necessario - ok, forse è così anche qui.

— A. Donda,

Ma dite anche "l'entità risultante non dipende, in effetti, dalla scelta della struttura accessoria". Comprendo correttamente che si possono usare diverse strutture ausiliarie per arrivare alla stessa topologia esatta? Se sì, allora l'analogia si interrompe qui, perché usando la "metrica quadrata" non arrivo alla mediana, ma alla media, che non è invariante nelle trasformazioni monotoniche.

— A. Donda,

Buon punto. Suppongo che ciò che sto dicendo sia, non è così sorprendente quando qualcosa che può essere definito in termini di una struttura diventa definibile in termini di una struttura più debole - e spesso quando ciò accade hai trovato un concetto utile! Nel tuo caso, puoi definire la mediana in termini di aritmetica e integrazione dei numeri reali, che è molto strutturata, ma in realtà esiste una definizione che scambia l'aritmetica per l'ordinamento, una struttura più debole. I miei casi erano all'estremo estremo, in cui la struttura più debole risulta essere quasi nessuna struttura.

— Matthew Drury,

Un altro punto. Si potrebbe dire che la ragione per cui le trasformazioni monotoniche preservano la mediana è perché esiste un modo per definirle in termini di struttura per cui le trasformazioni monotoniche sono i morfismi . Il morfismo è una parola senza senso astratta generale che significa funzione che preserva una certa struttura .

— Matthew Drury,

Ok, ho capito il punto generale. Ma ho ancora la sensazione che ci sia qualcosa di inspiegabile, in particolare il punto sopra menzionato. Ho votato a favore, ma per questo motivo non accetterò la tua risposta, forse qualcuno troverà qualche idea aggiuntiva. Grazie ancora!

— A. Donda,

La mediana è una proprietà "metrica" ​​o "topologica"?

La mediana è una proprietà "metrica" o "topologica"?