Riferimenti: Coda del cdf inverso

Sono quasi sicuro di aver già visto i seguenti risultati nelle statistiche, ma non ricordo dove.

Se è una variabile casuale positiva e allora quando , dove è il cdf di . $X$ $\mathbb{E}(X)<\infty$ $\varepsilon F^{-1}(1-\varepsilon) \to 0$ $\varepsilon\to 0^+$ $F$ $X$

Ciò è facile da vedere geometricamente usando l'uguaglianza e considerando un taglio orizzontale a dell'area sotto la curva dell'integrando . $\mathbb{E}(X)=\int 1-F$ $\varepsilon$ $1-F$

Conosci un riferimento per questo risultato e se ha un nome?

— Stéphane Laurent
fonte

Il "più in generale" è un'applicazione diretta dell'integrazione per parti. Non c'è quasi bisogno di un riferimento!

— whuber

@whuber Chiedo anche un riferimento per il primo risultato.

— Stéphane Laurent,

Potresti averlo visto, o almeno qualcosa di molto simile, su stats.stackexchange.com/questions/18438 . Questo risultato è dovuto a una sostituzione nell'integrale, che di nuovo è così basilare che non ci si aspetterebbe che fosse stato particolarmente notato in letteratura o che avesse un nome speciale.

— whuber

@whuber Non vedo nel tuo link. Inoltre, il risultato che cito è vero anche per una discreta (prendendo come sequenza e sostituendo con più generale). Il primo risultato è vero anche per una generale , credo.

ϵ F^{- 1} (1 - ϵ) \to 0

$\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) \to 0$

F

$F$

g

$g$

\int

$\int$

\sum

$\sum$

F

$F$

— Stéphane Laurent,

Credo che questo potrebbe essere usato senza alcun riferimento a condizione che sia dichiarato in termini più classici. In parole povere, questo è: per con , una conseguenza diretta di:

x \bar{F} (x) \to 0

$x\,\bar{F}(x) \to 0$

x \to \infty

$x \to \infty$

\bar{F} := 1 - F

$\bar{F} := 1 - F$

e di convergenza dominata. È necessario un piccolo lavoro per ottenere l'istruzione per l'inverso (sinistro continuo)

nel caso generale in cui

può avere dei passi.

x Pr {X > x} \leq E [X 1_{{X > x}}]

$x \,\text{Pr}\{ X > x \} \leq \mathbb{E}[X \,1_{\{X > x\}}]$

F^{- 1}

$F^{-1}$

F

$F$

— Yves,

Per gestire la "piccola opera" suggerita da Yves nei commenti, la geometria suggerisce una prova rigorosa e del tutto generale.

Se lo desideri, puoi sostituire tutti i riferimenti alle aree con integrali e riferimenti a "arbitrari" con i soliti argomenti epsilon-delta. La traduzione è semplice.

Per impostare l'immagine, lascia che sia la funzione di sopravvivenza $G$

sol (X) = 1 - F (X) = Pr (X > X) .

$G(x) = 1-F(x) = \Pr(X \gt x).$

La figura traccia una parte di . (Notare il salto nel grafico: questa particolare distribuzione non è continua.) Viene mostrata una grande soglia ed è stata selezionata una piccola probabilità (in modo che ). $G$ $T$ $\epsilon \le G(T)$ $G^{-1}(\epsilon)\ge T$

Siamo pronti a partire: il valore che ci interessa, (quello che vogliamo mostrare converge a zero), è l'area del rettangolo bianco con altezza e base da a . Mettiamo in relazione quest'area con l'aspettativa di , perché l'unica ipotesi a nostra disposizione è che questa aspettativa esiste ed è limitata. $\epsilon F^{-1}(1-\epsilon) = \epsilon G^{-1}(\epsilon)$ $\epsilon$ $x=0$ $x= G^{-1}(\epsilon)$ $F$

La parte positiva dell'aspettativa è l'area sotto la curva di sopravvivenza (da a ): $E_{+}$ $\mathbb{E}_F(X)$ $0$ $\infty$

E_{F} (X) = E_{+} - E_{-} = \int_{0}^{\infty} sol (X) d X - \int_{- \infty}^{0} F (X) d X .

$\mathbb{E}_F(X) = E_{+}-E_{-} = \int_0^\infty G(x) dx - \int_{-\infty}^0 F(x) dx.$

Poiché deve essere finito (altrimenti l'attesa stessa non esisterebbe e sarebbe limitata), potremmo scegliere così grande che l'area sotto compresa tra e rappresenta tutti o quasi tutti i conti di . $E_{+}$ $T$ $G$ $0$ $T$ $E_{+}$

Tutti i pezzi sono ora al loro posto: il grafico di , la soglia , la piccola altezza e l'endpoint destro suggeriscono una dissezione di nelle aree che può analizzare: $G$ $T$ $\epsilon$ $G^{-1}(\epsilon)$ $E_{+}$

Quando va a zero dall'alto, l'area del rettangolo bianco con base riduce a zero, perché rimane costante. ( Ecco perché stato introdotto; è l'idea chiave di questa dimostrazione. ) $\epsilon$ $0\le x \lt T$ $T$ $T$
L'area blu può essere resa il più vicino possibile a , cominciando con una opportunamente grande e quindi scegliendo piccolo . $E_{+}$ $T$ $\epsilon$
Di conseguenza, l'area rimasta - che chiaramente non è maggiore del rettangolo bianco con base da a può essere resa arbitrariamente piccola. (In altre parole, basta ignorare le aree rosse e dorate.) $x=T$ $x=G^{-1}(\epsilon)$

Abbiamo così suddiviso in due pezzi le cui aree convergono entrambe a zero. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)$ Pertanto, , QED. $\epsilon G^{-1}(\epsilon)\to 0$

— whuber
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