Come evitare il log (0) termine nella regressione

Ho i seguenti semplici vettori X e Y:

> X
[1] 1.000 0.063 0.031 0.012 0.005 0.000
> Y
[1] 1.000 1.000 1.000 0.961 0.884 0.000
> 
> plot(X,Y)

Voglio fare la regressione usando il registro di X. Per evitare di ottenere il registro (0), provo a inserire +1 o +0.1 o +0.00001 o +0.000000000000001:

> summary(lm(Y~log(X)))
Error in lm.fit(x, y, offset = offset, singular.ok = singular.ok, ...) : 
  NA/NaN/Inf in 'x'
> summary(lm(Y~log(1+X)))

Call:
lm(formula = Y ~ log(1 + X))

Residuals:
       1        2        3        4        5        6 
-0.03429  0.22189  0.23428  0.20282  0.12864 -0.75334 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
(Intercept)   0.7533     0.1976   3.812   0.0189 *
log(1 + X)    0.4053     0.6949   0.583   0.5910  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.4273 on 4 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.07838,   Adjusted R-squared:  -0.152 
F-statistic: 0.3402 on 1 and 4 DF,  p-value: 0.591

> summary(lm(Y~log(0.1+X)))

Call:
lm(formula = Y ~ log(0.1 + X))

Residuals:
       1        2        3        4        5        6 
-0.08099  0.20207  0.23447  0.21870  0.15126 -0.72550 

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
(Intercept)    1.0669     0.3941   2.707   0.0537 .
log(0.1 + X)   0.1482     0.2030   0.730   0.5058  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.4182 on 4 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.1176,    Adjusted R-squared:  -0.103 
F-statistic: 0.5331 on 1 and 4 DF,  p-value: 0.5058

> summary(lm(Y~log(0.00001+X)))

Call:
lm(formula = Y ~ log(1e-05 + X))

Residuals:
       1        2        3        4        5        6 
-0.24072  0.02087  0.08796  0.13872  0.14445 -0.15128 

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     1.24072    0.12046  10.300 0.000501 ***
log(1e-05 + X)  0.09463    0.02087   4.534 0.010547 *  
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.1797 on 4 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.8371,    Adjusted R-squared:  0.7964 
F-statistic: 20.56 on 1 and 4 DF,  p-value: 0.01055

> 
> summary(lm(Y~log(0.000000000000001+X)))

Call:
lm(formula = Y ~ log(1e-15 + X))

Residuals:
        1         2         3         4         5         6 
-0.065506  0.019244  0.040983  0.031077 -0.019085 -0.006714 

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     1.06551    0.02202   48.38 1.09e-06 ***
log(1e-15 + X)  0.03066    0.00152   20.17 3.57e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.04392 on 4 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9903,    Adjusted R-squared:  0.9878 
F-statistic: 406.9 on 1 and 4 DF,  p-value: 3.565e-05

L'output è diverso in tutti i casi. Qual è il valore corretto da mettere per evitare il registro (0) nella regressione? Qual è il metodo corretto per tali situazioni.

Modifica: il mio obiettivo principale è migliorare la previsione del modello di regressione aggiungendo il termine log, ovvero: lm (Y ~ X + log (X))

Più piccola è la costante che aggiungi più grande è il valore anomalo che creerai:

Quindi è difficile giustificare una costante qui. Potresti considerare una trasformazione che non ha alcun problema con 0s, ad esempio un polinomio di terzo ordine.

Perché vuoi tracciare i logaritmi? Cosa c'è di sbagliato nel tracciare le variabili così come sono?

Un motivo per lavorare con i log è quando, ad esempio, una distribuzione generata presunta è log-normale.

Un altro sarebbe che i numeri rappresentano parametri di scala o vengono utilizzati in modo moltiplicativo, nel qual caso lo spazio in cui si trovano è naturalmente logaritmico (per lo stesso motivo per cui il precedente di Jeffreys di una variabile di scala è logaritmico).

Nessuno di questi è il caso. Penso che la risposta giusta qui sia non farlo. In primo luogo elaborare un modello di generazione dei dati, quindi utilizzare i dati in modo coerente.

$y$$x$$y$$\log x$

Probabilmente l'unica cosa che otterrai aggiungendo continuamente funzioni agli input è un modello sovradimensionato. Se si desidera un modello che convalida effettivamente, è necessario fare delle ipotesi valide e disporre di dati sufficienti per apprendere un modello. Più congetture fai, più parametri avrai, più dati avrai bisogno.

È difficile dirlo con così pochi dettagli sui tuoi dati e solo sei osservazioni, ma forse il tuo problema sta nella tua variabile Y (limitata tra zero e uno) e non nella tua X. Dai un'occhiata al seguente approccio usando il parametro due funzione log-logistica dal pacchetto drc :

X<-c(1.000, 0.063, 0.031, 0.012, 0.005, 0.000)
Y<-c(1.000, 1.000, 1.000, 0.961, 0.884, 0.000)

library(drc)
mod1<-drm(Y ~ X, fct=LL.2())
summary(mod1)

#Model fitted: Log-logistic (ED50 as parameter) with lower limit at 0 and upper limit at 1 (2 parms)
#
#Parameter estimates:
#  
#  Estimate  Std. Error     t-value p-value
#b:(Intercept) -1.5131e+00  1.4894e-01 -1.0159e+01  0.0005
#e:(Intercept)  1.3134e-03  1.8925e-04  6.9401e+00  0.0023
#
#Residual standard error:
#  
#  0.005071738 (4 degrees of freedom)  

plot(X,Y)
lines(seq(0, 1, 0.001), predict(mod1, data.frame(X=seq(0, 1, 0.001))))

Guardando la trama di y vs x, la forma funzionale sembra essere y = 1 - exp (-alpha x), con un alfa molto alto. Questa funzione è vicina ma non del tutto graduale e avrai bisogno di un gran numero di polinomi per adattarsi a questi dati (pensa in termini di exp (x) = 1 + x + x ^ 2/2! +. + X ^ n / n! + ...). Riorganizzando i termini, otteniamo exp (-alpha x) = 1-y. Se prendi i log ora, questo dà -alpha x = log (1-y). È possibile definire una nuova variabile z = log (1-y) e provare a trovare l'alfa che si adatta meglio ai dati. Hai ancora il problema di come gestire y = 1. Non conosco il contesto del tuo problema, ma la mia impressione è che dovresti pensare a y che si avvicina asintoticamente 1 mentre x si avvicina a 1 e che in realtà non raggiunge mai 1.

Ripensandoci ancora, mi chiedo se i dati provengano effettivamente da una distribuzione di Weibull y = 1 - exp (-alpha x ^ beta). Riorganizzando i termini, otteniamo beta log (x) = log (-log (1-y)) - log (alpha) e possiamo usare OLS per ottenere alpha e beta. Resta il problema della gestione di y = 1.