Qual è la varianza di lungo periodo?

Come viene definita la varianza di lungo periodo nel regno dell'analisi delle serie temporali?

Capisco che viene utilizzato nel caso in cui vi sia una struttura di correlazione nei dati. Quindi il nostro processo stocastico non sarebbe una famiglia di $X_1, X_2 \dots$ variabili casuali ma piuttosto distribuite in modo identico?

Potrei avere un riferimento standard come introduzione al concetto e alle difficoltà legate alla sua stima?

È una misura dell'errore standard della media del campione in caso di dipendenza seriale.

Se $Y_t$ è covarianza stazionaria con $E(Y_t)=\mu$ e $Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$ (in un'impostazione iid, questa quantità sarebbe zero!) Tale che $\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$ . Quindi

$$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$$ dove la prima uguaglianza è definitiva, laseconda un po 'più difficile da stabilire e il terzo una conseguenza della stazionarietà, che implica che $\gamma_j=\gamma_{-j}$.

Quindi il problema è davvero la mancanza di indipendenza. Per vederlo più chiaramente, scrivi la varianza della media del campione come

$$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$$

Un problema con la stima della varianza a lungo termine è che ovviamente non osserviamo tutte le autocovarianze con dati finiti. A tal fine vengono utilizzati i kernel (in econometria, "Newey-West" o stimatori HAC),

$$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$$ $k$ is a kernel or weighting function, the $\hat\gamma_j$ are sample autocovariances. $k$, among other things must be symmetric and have $k(0)=1$. $\ell_T$ is a bandwidth parameter.

A popular kernel is the Bartlett kernel

$$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$$ Good textbook references are Hamilton, Time Series Analysis or Fuller. A seminal (but technical) journal article is Newey and West, Econometrica 1987.