Perché il supremum del ponte browniano ha la distribuzione di Kolmogorov – Smirnov?

La distribuzione di Kolmogorov – Smirnov è nota dal test di Kolmogorov – Smirnov . Tuttavia, è anche la distribuzione del supremum del ponte browniano.

Dal momento che questo è tutt'altro che ovvio (per me), vorrei chiederti una spiegazione intuitiva di questa coincidenza. Anche i riferimenti sono ben accetti.

$\sqrt{n}\sup_x|F_n-F|=\sup_x|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)|$

dove $Z_i(x)=1_{X_i\leq x}-E[1_{X_i\leq x}]$

da CLT hai $G_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)\rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

questa è l'intuizione ...

il ponte browniano ha una varianza http://it.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridge sostituisce con . Questo è per un ...t ( 1 - t ) t F ( x ) $B(t)$$t(1-t)$ $t$$F(x)$$x$

Devi anche controllare la covarianza e quindi è ancora facile mostrare (CLT) che per ( ) dove è con , . ( G n ( x 1 ) , … , G n ( x k ) ) → ( B 1 , … , B k ) ( B 1 , … , B k ) N ( 0 , Σ ) Σ = ( σ i j ) σ i j = $x_1,\dots,x_k$$(G_n(x_1),\dots,G_n(x_k))\rightarrow (B_1,\dots,B_k)$$(B_1,\dots,B_k)$$\mathcal{N}(0,\Sigma)$$\Sigma=(\sigma_{ij})$$\sigma_{ij}=\min(F(x_i),F(x_j))-F(x_i)F(x_j)$

La parte difficile è mostrare che la distribuzione del suppremum del limite è il supremum della distribuzione del limite ... Comprendere perché ciò accade richiede una teoria del processo empirico, leggere libri come van der Waart e Welner (non facile) . Il nome del teorema è il teorema di Donsker http://it.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...

Per Kolmogorov-Smirnov, considera l'ipotesi nulla. Dice che un campione viene estratto da una particolare distribuzione. Quindi, se costruisci la funzione di distribuzione empirica per campioni , nel limite di dati infiniti, lo farà convergere alla distribuzione sottostante.$n$$f(x) = \frac{1}{n} \sum_i \chi_{(-\infty, X_i]}(x)$

Per informazioni limitate, sarà disattivato. Se una delle misure è , allora in la funzione di distribuzione empirica fa un passo avanti. Possiamo considerarlo come una camminata casuale che è costretta a iniziare e finire con la vera funzione di distribuzione. Una volta che lo sai, vai a saccheggiare la letteratura per l'enorme quantità di informazioni conosciute sulle passeggiate casuali per scoprire qual è la più grande deviazione attesa di una tale passeggiata.$q$$x=q$

Puoi fare lo stesso trucco con qualsiasi -norm della differenza tra le funzioni di distribuzione empirica e sottostante. Per , si chiama test Cramer-von Mises. Non conosco l'insieme di tutte queste prove per il settore arbitraria, positivo forma una classe completa di qualsiasi tipo, ma potrebbe essere una cosa interessante da guardare.$p$$p=2$$p$