Come calcolare le bande di previsione per la regressione non lineare?

La pagina di aiuto per Prism fornisce la seguente spiegazione su come calcola le bande di predizione per la regressione non lineare. Per favore, scusa la lunga citazione, ma non sto seguendo il secondo paragrafo (che spiega come viene definito e viene calcolato d Y / d P ). Qualsiasi aiuto sarebbe molto apprezzato.$G|x$$dY/dP$

Il calcolo delle fasce di confidenza e previsione è abbastanza standard. Continua a leggere per i dettagli su come Prism calcola le bande di predizione e confidenza della regressione non lineare.

Per prima cosa, definiamo G | x, che è il gradiente dei parametri con un valore particolare di X e usando tutti i valori più adatti ai parametri. Il risultato è un vettore, con un elemento per parametro. Per ogni parametro, è definito come dY / dP, dove Y è il valore Y della curva dato il particolare valore di X e tutti i valori dei parametri più adatti, e P è uno dei parametri.)

G '| x è quel vettore gradiente trasposto, quindi è una colonna anziché una riga di valori.

Cov è la matrice di covarianza (inversa Assia dall'ultima iterazione). È una matrice quadrata con il numero di righe e colonne pari al numero di parametri. Ogni elemento nella matrice è la covarianza tra due parametri.

Ora calcola c = G '| x * Cov * G | x. Il risultato è un singolo numero per qualsiasi valore di X.

Le bande di confidenza e previsione sono centrate sulla curva di adattamento migliore e si estendono sopra e sotto la curva di una quantità uguale.

Le bande di confidenza si estendono sopra e sotto la curva di: = sqrt (c) * sqrt (SS / DF) * CriticalT (Confidence%, DF)

Le bande di previsione estendono un'ulteriore distanza sopra e sotto la curva, pari a: = sqrt (c + 1) * sqrt (SS / DF) * CriticalT (Confidence%, DF)

Questo è chiamato il metodo Delta.

Supponiamo di avere una funzione ; nota che G ( ⋅ ) è una funzione dei parametri stimati, β e dei valori dei tuoi predittori, x . Innanzitutto, trova la derivata di questa funzione rispetto al tuo vettore di parametri, β : G ′ ( β , x $y = G(\beta,x) + \epsilon$$G(\cdot)$$\beta$$x$$\beta$$G^\prime(\beta, x)$ . Questo dice, se si modifica un parametro di un po ', quanto cambia la funzione? Si noti che questa derivata può essere una funzione dei parametri stessi e dei predittori. Ad esempio, se , la derivata è $G(\beta,x) = \exp (\beta x)$ , che dipende dal valore di β e dal valore di x . Per valutare questo, si collega la stima di β che la procedura offre, β , e il valore del predittore$x \exp (\beta x)$$\beta$$x$$\beta$$\hat{\beta}$$x$ dove vuoi la previsione.

Metodo Delta, derivata da procedure di massima verosimiglianza, afferma che la varianza di sta per essere G ' ( β , x ) T Var ( β ) G ' ( β , x ) , dove$G\left(\hat{\beta}, x\right)$

$$G^\prime\left(\hat{\beta},x\right)^T \text{Var}\left(\hat{\beta}\right) G^\prime\left(\hat{\beta},x\right),$$ $\text{Var}\left(\hat{\beta}\right)$è la matrice varianza-covarianza delle tue stime (questo è uguale al contrario dell'Assia --- i secondi derivati ​​della funzione di verosimiglianza alle tue stime). La funzione utilizzata dai pacchetti statistici calcola questo valore per ciascun diverso valore del predittore . Questo è solo un numero, non un vettore, per ogni valore di x .$x$$x$

$G(\cdot)$

$x$$\text{Var}(y \mid x) \equiv \sigma^2$$\epsilon$$\hat{\sigma}^2$$y$$y$$\hat{\sigma}^2$SSDF

c$\sigma^2$$\sigma^{-2}$$\sigma$c*SS/DF

c$\left(x^\prime x\right)^{-1}$$\text{Var}\left(\hat{\beta}\right) = \sigma^2 \left(x^\prime x\right)^{-1}$