significato della differenza tra due conteggi

C'è un modo per determinare se una differenza tra un conteggio di incidenti stradali al momento 1 è significativamente diversa da un conteggio al momento 2?

Ho trovato metodi diversi per determinare la differenza tra gruppi di osservazioni in momenti diversi (ad esempio, confrontando le medie di Poisson) ma non per confrontare solo due conteggi. O non è nemmeno valido provare? Qualsiasi consiglio o direzione sarebbe apprezzato. Sono felice di seguire me stesso.

Se sei felice di presumere che ogni conteggio segua una distribuzione di Poisson (con la sua media sotto l'ipotesi alternativa; con una media comune sotto il null) non c'è problema: è solo che non puoi controllare quell'assunzione senza repliche. L'overdispersione può essere abbastanza comune con i dati di conteggio.

Un test esatto dato conteggi $x_1$ & $x_2$ è semplice perché il totale complessivo dei conteggi $n=x_1+x_2$ è accessorio; il condizionamento su di esso dà $X_1 \sim \mathrm{Bin}\left(\frac{1}{2},n\right)$come distribuzione della statistica di test sotto il valore null. ^†È un risultato intuitivo: il conteggio complessivo, che riflette forse quanto tempo potresti essere disturbato a dedicare all'osservazione dei due processi di Poisson, non porta informazioni sui loro tassi relativi, ma influenza la potenza del tuo test; e quindi altri conteggi complessivi che potresti avere sono irrilevanti.

Vedi il test di ipotesi basato sulla verosimiglianza per il test di Wald (un'approssimazione).

† Ogni conteggio ha una distribuzione di Poisson con media λ i f X ( x i ) = λ x i i e - λ $x_i$$\lambda_i$ Eseguire nuovamente la conversione come

$$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} f{_X}(x_i)=\frac{\lambda_i^{x_i}\e^{-\lambda_i}}{x_i!}\qquad i=1,2$$ doveθè ciò che ti interessa, &ϕè un parametro di disturbo. La funzione di massa articolare può quindi essere riscritta: f X 1 , X 2 ( x 1 , x 2 $$\begin{align} \theta&=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\\ \phi&=\lambda_1+\lambda_2 \end{align}$$ $\theta$$\phi$ Il conteggio totalenè accessorio perθ, avendo una distribuzione di Poisson con mediaϕfN(n $$\begin{align} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)&=\frac{\lambda_1^{x_1}\lambda_2^{x_2}\e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{x_1!x_2!}\\ f_{X_1,N}(x_1,n)&=\frac{\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1}\cdot\phi^n\e^{-\phi}}{x_1!(n-x_1)!} \end{align}$$ $n$$\theta$$\phi$ mentre la distribuzione condizionale diX1datonè binomiale con probabilità di Bernoulliθ& no. provenfX1| n(x1;n $$\begin{align} f_N(n)&= \sum_{x_1=0}^{\infty}f_{X_1,N}(x_1,n)\\ &=\frac{\phi^n\e^{-\phi}}{n!}\sum_{x_1=0}^{\infty}\frac{n!}{x_1!(n-x_1)!}\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1}\\ &=\frac{\phi^n\e^{-\phi}}{n!} \end{align}$$ $X_1$$n$$\theta$$n$ $$\begin{align} f_{X_1|n}(x_1;n)&=\frac{f_{X_1,N}(x_1,n)}{f_N(n)}\\ &=\frac{\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1}\cdot\phi^n\e^{-\phi}}{x_1!(n-x_1)!}\cdot\frac{n!}{\phi^n\e^{-\phi}}\\ &=\frac{n!}{x_1!(n-x_1)!}\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1} \end{align}\\$$