L'adattamento del modello Cox con gli strati e l'interazione strati-covariata differisce dal montaggio di due modelli Cox?

In Regressione Modeling Strategies di Harrell (seconda edizione) c'è una sezione (S. 20.1.7) che discute i modelli di Cox tra cui un'interazione tra una covariata di cui vogliamo stimare anche l'effetto principale sulla sopravvivenza (età nell'esempio seguente) e un covariata di cui non vogliamo stimare l'effetto principale (genere nell'esempio seguente).

Concretamente: supponiamo che in una popolazione il rischio (sconosciuto, vero) segua il modello $h(t)$

h (t) = {\begin{cases} h_{f} (t) \exp (β_{1} age), & for female patiens \\ h_{m} (t) \exp ((β_{1} + β_{2}) age), & for male patiens \end{cases}

$h(t) = \begin{cases} h_f(t) \exp(\beta_1 \textrm{age}), & \textrm{for female patiens} \\ h_m(t) \exp((\beta_1 + \beta_2) \textrm{age}), & \textrm{for male patiens} \end{cases}$ dove , sono sconosciute, vere, da non valutare le funzioni di rischio al basale e

sono sconosciute, veri parametri da stimare dai dati.

h_{f}

$h_f$

h_{m}

$h_m$

β_{1}

$\beta_1$

β_{2}

$\beta_2$

(Questo esempio è preso quasi letteralmente dal libro.)

Ora Harrell osserva che la situazione di cui sopra può essere riscritta come modello di modello Cox stratificato 1 :

h (t) = h_{gender} (t) \exp (β_{1} age + β_{2} X)

$h(t) = h_{\textrm{gender}}(t) \exp(\beta_1 \textrm{age} + \beta_2 X)$

dove il "termine di interazione" uguale a zero per le femmine e l'età per i maschi. Questo è conveniente perché significa che possiamo usare la tecnica standard per stimare e .

X

$X$

β_{1}

$\beta_1$

β_{2}

$\beta_2$

Ora per la domanda. Supponiamo che due ricercatori A e B ricevano lo stesso campione di pazienti prelevati dalla popolazione sopra descritta. Il ricercatore A si adatta al modello 1, ottenendo stime , per i parametri reali insieme a intervalli di confidenza. $\hat{\beta}_1$ $\hat{\beta}_2$ $\beta_1, \beta_2$

La ricercatrice B adotta l'approccio più ingenuo di adattamento di due modelli Cox ordinari (cioè non soddisfatti): modello 2a: sulle sole pazienti nel campione e modello 2b: sui pazienti maschi solo nel campione. Ottenendo così stime rispettivamente , dei parametri reali , insieme ad intervalli di confidenza.

h (t) = h_{f} (t) \exp (γ_{1} age)

$h(t) = h_f(t)\exp(\gamma_1 \textrm{age})$

h (t) = h_{m} (t) \exp (γ_{2} age)

$h(t) = h_m(t)\exp(\gamma_2 \textrm{age})$

\hat{γ_{1}}

$\hat{\gamma_1}$

\hat{γ_{2}}

$\hat{\gamma_2}$

β_{1}, β_{1} + β_{2}

$\beta_1, \beta_1 + \beta_2$

Domanda:

Queste stime sono necessariamente le stesse (nel senso che , )? (Ricorda che entrambi i ricercatori guardano gli stessi dati.) $\hat{\beta}_1 = \hat{\gamma}_1$ $\hat{\beta}_2 = \hat{\gamma}_2 - \hat{\gamma}_1$
Gli intervalli di confidenza sono necessariamente gli stessi?
Ha senso affermare che il ricercatore A ha un vantaggio psicologico rispetto al ricercatore B nel caso in cui , perché il ricercatore A ha quindi maggiori probabilità di sospettarlo e passare alla stima del modello più parsimonioso ? $\beta_2 = 0$ $h(t) = h_{\textrm{gender}}(t)\exp(\beta_1 \textrm{age})$

survival cox-model stratification

— Vincent
fonte

Con i modelli in cui è necessario stimare ciascun parametro (come i minimi quadrati ordinari), è possibile creare una situazione in cui due modelli separati hanno le stesse stime di un singolo con un termine di interazione. Ad esempio, potremmo avere: , riassunti da: , in modo da poter stimare direttamente la differenza di genere sia in intercettazione che in pendenza. In realtà: . In tal caso, sono d'accordo con te sul fatto che il modello unico consentirebbe di avere un'idea immediata della differenza di genere (data dai parametri di interazione, $Y_M=\alpha_M+\beta_M*age$ $Y_F=\alpha_F+\beta_F*age$ $Y=\lambda+\lambda_F*F+\gamma*age+\gamma_F*F*age$ $\alpha_M=\lambda, \beta_M=\gamma, \alpha_F-\alpha_M=\lambda_F,\beta_F-\beta_M=\gamma_F$ $\lambda_F$ , poiché la differenza di pendenza ha un'interpretazione più chiara e la tua domanda si riferisce a quella). Tuttavia, con il modello Cox le cose sono diverse. Prima di tutto, se non includiamo il genere nella regressione, potrebbe esserci una ragione, vale a dire che non soddisfa l'assunzione di rischio proporzionale. Inoltre, se costruiamo un modello unico con il genere come termine di interazione, assumiamo una funzione di rischio di base comune (a meno che non abbia frainteso il significato di ), mentre i due modelli separati l'approccio consente due funzioni di rischio di base separate, quindi sono implicati modelli diversi. $h_{\textrm{gender}}(t)$

Vedi, ad esempio, il capitolo "Analisi di sopravvivenza" di Kleinbaum e Klein, 2012, Parte della serie Statistics for Biology and Health.

— Federico Tedeschi
fonte