L'ordinamento convesso implica il dominio della coda destra?

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Date due distribuzioni continue e , non mi è chiaro se la relazione di dominio convesso tra loro: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(0) F_{X} <_{c} F_{Y}

$(0)\quad \mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

implica che

(1) F_{Y}^{- 1} (q) \leq F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1]

$(1)\quad F_Y^{-1}(q) \leq F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1]$

vale o se sono necessarie ulteriori ipotesi se è da tenere? $(1)$

Definizione di Convesso dominante.

Se due distribuzioni continue e soddisfano: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

(2) F_{Y}^{- 1} F_{X} (x) is convex in x

$(2)\quad F_Y^{-1}F_X(x)\text{ is convex in } x$

[0] quindi scriviamo:

F_{X} <_{c} F_{Y}

$F_X <_c F_Y$

e dire che è più distorto rispetto a . Poiché e sono distribuzioni di probabilità, implica anche che la derivata di sia monotonicamente non decrescente e non negativa [1], che è convesso [2], che e incrociano al massimo due volte [2] e che [2], per : $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $F_X$ $F_Y$ $(2)$ $F_Y^{-1}F_X(x)$ $F_Y^{-1}F_X(x)-x$ $F_X$ $F_{aY+b}$ $\forall a>0,b\in\mathbb{R}$ $\forall p\in[0,0.5]$

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} \geq \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)} .

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}\geq\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}.$

[0] Zwet, WR van (1964). Trasformazioni convesse di variabile casuale. (1964). Amsterdam: Mathematish Centrum.
[1] Oja, H. (1981). Posizione, scala, asimmetria e curtosi delle distribuzioni univariate. Journal of Statistics scandinavo. Vol. 8, pagg. 154-168
[2] RA Groeneveld e G. Meeden. (1984). Misurare asimmetria e curtosi. Lo statistico. 33: 391-399.

probability probability-inequalities distributions

— user603
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1

Suppongo che ci sia qualche errore nell'ultima disuguaglianza - se contiene

, la simmetria implicherebbe l'uguaglianza

\forall p \in [0, 1]

$\forall p \in [0,1]$

, che a sua volta essere simmetriche wrt

vs

.

\frac{F_{X}^{- 1} (p)}{F_{Y}^{- 1} (p)} = \frac{F_{X}^{- 1} (1 - p)}{F_{Y}^{- 1} (1 - p)}

$\frac{F^{-1}_X(p)}{F^{-1}_Y(p)}=\frac{F^{-1}_X(1-p)}{F^{-1}_Y(1-p)}$

X

$X$

Y

$Y$

— Juho Kokkala,

1

Nota che c'è

dopo l'equazione (6) di [2].

α \in (0, \frac{1}{2})

$\alpha \in (0,\frac{1}{2})$

— Juho Kokkala,

hai ragione. Colpa mia. Ora risolto questo problema.

— user603

2

In generale non è vero. Consideriamo ad esempio e $\mu=\frac{3}{8} \delta_{-1}(x)+\frac{1}{4}\delta_0(x)+\frac38 \delta_1(x)$ . $\nu=\frac12\delta_{-\frac12}(x)+\frac12\delta_{\frac12}(x)$

Puoi immediatamente vedere che . Tuttavia $\nu\leq_{cx}\mu$ . È tuttavia vero che da un certo in poi,per tutti . $F_\mu^{-1}(0.6)=0<\frac12 =F_\nu^{-1}(0.6)$ $\bar{q}$ $F_\mu^{-1}(q)<F_\nu^{-1}(q)$ $q>\bar q$

— user123456
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Potresti per favore aggiungere alcune spiegazioni a questa risposta? È un po 'corto per i nostri standard!

— kjetil b halvorsen,

4

Ok, penso che questo possa essere risolto in questo modo (commenti graditi):

Denotando e le distribuzioni di e e ricordandolo $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$ $X$ $Y$

F_{X} <_{c} F_{Y}

$\mathcal{F}_X <_c \mathcal{F}_Y$

implica (Oja, 1981) che tale che: $\exists z^*\in\mathbb{R}$

F_{Y} (z) < F_{X} (z), \forall z > z^{*} .

$F_Y(z)<F_X(z),\forall z>z^*.$

Poiché lo spostamento non influisce sull'ordinamento convesso, possiamo supporre senza perdita di generalità che sia stato spostato in modo che: $X$

z^{*} ⩽ min (F_{X}^{- 1} (0.5), F_{Y}^{- 1} (0.5))

$z^*\leqslant\min(F^{-1}_X(0.5),F^{-1}_Y(0.5))$

così che

F_{Y}^{- 1} (q) ⩽ F_{X}^{- 1} (q), \forall q \in [0.5, 1] .

$F_Y^{-1}(q) \leqslant F_X^{-1}(q),\quad \forall q\in[0.5,1].$

Quindi, sembra che sì , l'ordinamento convesso di implica il predominio della coda destra di su (o per essere precisi una versione $\mathcal{F}_X<_c \mathcal{F}_Y$ $F_Y(y)$ $F_X(x)$ di ) $F_{X+b}(x),\;b\in\mathbb{R}$ $F_X(x)$

— user603
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