Coefficiente di determinazione nella regressione lineare multipla: nella regressione lineare multipla il coefficiente di determinazione può essere scritto in termini di correlazioni a coppie per le variabili usando la forma quadratica:
R2=rTy,xr−1x,xry,x,
ry,xrx,x
R2=[rY,X1rY,X2]T[1rX1,X2rX1,X21]−1[rY,X1rY,X2]=11−r2X1,X2[rY,X1rY,X2]T[1−rX1,X2−rX1,X21][rY,X1rY,X2]=11−r2X1,X2(r2Y,X1+r2Y,X2−2rX1,X2rY,X1rY,X2).
Non hai specificato le direzioni delle correlazioni univariate nella tua domanda, quindi senza perdita di generalità, indicheremo . Sostituendo i valori e rendimenti:D≡sgn(rY,X1)⋅sgn(rY,X2)∈{−1,+1}r2Y,X1=0.3r2Y,X2=0.4
R2=0.7−20.12−−−−√⋅D⋅rX1,X21−r2X1,X2.
È possibile per , poiché è possibile che le informazioni combinate delle due variabili siano superiori alla somma delle sue parti. Questo interessante fenomeno si chiama "miglioramento" (vedi ad esempio Lewis ed Escobar 1986 ).R2>0.7