Come posso confrontare 2 significa che sono distribuiti Laplace?

Voglio confrontare 2 mezzi di campionamento per i rendimenti di stock di 1 minuto. Presumo che siano distribuiti in Laplace (già controllati) e ho diviso i rendimenti in 2 gruppi. Come posso verificare se sono significativamente diversi?

Penso di non poterli trattare come una distribuzione normale, perché anche se sono più di 300 valori, il diagramma QQ mostra che c'è una differenza enorme in una distribuzione normale

Supponendo che entrambe le distribuzioni di Laplace abbiano la stessa varianza,

a) il test del rapporto di verosimiglianza implicherebbe una statistica di test come:

$\mathcal{L}=\frac{\prod_{i=1}^n \frac{1}{2\hat{\tau}} \exp(-\frac{|x_i-\hat{\mu}|}{\hat{\tau}})}{\prod_{i=1}^{n_1}\frac{1}{2\hat{\tau}_1} \exp(-\frac{|x_i-\hat{\mu}_1|}{\hat{\tau}_1})\cdot \prod_{i=n_1+1}^{n} \frac{1}{2\hat{\tau}_2} \exp(-\frac{|x_i-\hat{\mu}_2|}{\hat{\tau}_2})}$

Prendere i registri, cancellare / semplificare e moltiplicare per .$-2$

$\,-2\mathcal{l} = 2(n\log(\hat{\tau})-n_1\log(\hat{\tau}_1)-n_2\log(\hat{\tau}_2))\;\qquad$ (dove )$\mathcal{l}=\log(\mathcal{L})$

dove , la deviazione assoluta media dalla mediana nel campione combinato e , la deviazione assoluta media dalla mediana nel campione . τ i=mi$\hat{\tau}=m$$\hat{\tau}_i=m_i$$i$

Secondo Wilks' teorema questo è asintoticamente distribuito come sotto l'ipotesi nulla, quindi per un test del 5% che ci si rifiuta se che ha superato .$\chi^2_1$$3.84\,$

Gli esperimenti di simulazione suggeriscono che il test è anticonservativo su campioni di piccole dimensioni (la probabilità di rifiuto è leggermente superiore a quella nominale), ma di circa n = 100, sembra essere almeno ragionevole (si arriva all'ordine del 5,3% - 5,4% tasso di rifiuto sotto il valore nullo per un test nominale del 5%, ad esempio; per sembra essere più vicino al 5,25%).$n_1,n_2>300$

b) Ci aspetteremmo anche che sarebbe una buona statistica di test (dove rappresenta il mediana campione ); se non ho commesso un errore, in grandi campioni come il tuo sarebbe approssimativamente distribuito normalmente sotto il valore null, con media 0 e varianza 1, dove potrebbe essere basato sul quadrato del deviazione assoluta media dalla media nel campione combinato, , anche se mi aspetto che in pratica tenderebbe a funzionare meglio basandosi su una media ponderata del campione dei due campioni 's . ~μv=2τ2($\frac{\tilde{\mu}_1- \tilde{\mu}_2}{\sqrt{v}}$$\tilde{\mu}$ τ 2m2m 2 i$v=2\hat{\tau}^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})$$\hat{\tau}^2$$m^2$$m^2_i$$^\dagger$

$\dagger$ (Modifica: la simulazione suggerisce che l'approssimazione normale va bene ma il calcolo della varianza non è corretto sopra; posso vedere qual è il problema ora ma devo ancora risolverlo. La versione di permutazione di questo test (vedi elemento (c)) dovrebbe ancora andare bene).

c) Un'altra alternativa sarebbe quella di eseguire un test di permutazione basato su una delle statistiche di cui sopra. (Una delle risposte qui fornisce uno schema di come implementare il test di permutazione per una differenza nelle mediane.)

d) Puoi sempre fare un test Wilcoxon / Mann-Whitney; sarà notevolmente più efficiente rispetto al tentativo di utilizzare un test t sul Laplace.

e) Meglio di (d) per i dati di Laplace sarebbe il test mediano di Mood; mentre spesso raccomandato contro nei libri, quando si tratta di dati Laplace mostrerà un buon potere. Mi aspetto che avrebbe un potere simile alla versione di permutazione del test asintotico della differenza nelle mediane (uno dei test menzionati in (c)).

La domanda qui fornisce un'implementazione R che utilizza un test di Fisher, ma quel codice può essere adattato per utilizzare invece un test chi-quadro (che suggerirei anche in campioni moderati); in alternativa c'è un codice di esempio per questo (non come una funzione) qui .

Il test mediano è discusso qui su Wikipedia , anche se non in modo molto approfondito (la traduzione tedesca collegata ha un po 'più di informazioni). Alcuni libri su non parametrici ne parlano.