Perché aumenta la varianza della camminata casuale?

La camminata casuale definita come , dove è rumore bianco. Indica che la posizione corrente è la somma della posizione precedente + un termine non previsto.$Y_{t} = Y_{t-1} + e_t$$e_t$

Puoi provare che la funzione media , poiché$\mu_t = 0$$E(Y_{t}) = E(e_1+ e_2+ ... +e_t) = E(e_1) + E(e_2) +... +E(e_t) = 0 + 0 + ... + 0$

Ma perché la varianza aumenta linearmente con il tempo?

Questo ha a che fare con il fatto che non è casuale "puro", dal momento che la nuova posizione è molto correlata alla precedente?

MODIFICARE:

Ora ho una comprensione molto migliore visualizzando un grande campione di passeggiate casuali e qui possiamo facilmente osservare che la varianza complessiva aumenta nel tempo,

e la media è come previsto intorno allo zero.

Forse questo è stato banale dopo tutto, poiché nelle primissime fasi delle serie temporali (confronta tempo = 10, con 100) i camminatori casuali non hanno ancora avuto il tempo di esplorare tanto.

In breve perché continua ad aggiungere la varianza dei successivi incrementi alla variabilità che abbiamo nel raggiungere la nostra posizione attuale.

$\text{Var}(Y_{t}) = \text{Var}(e_1+ e_2+ ... +e_t)$
$\qquad\quad\;\;= \text{Var}(e_1) + \text{Var}(e_2) +... +\text{Var}(e_t)$ (indipendenza)
$\qquad\quad\;\;= \sigma^2 + \sigma^2 + ... + \sigma^2=t\sigma^2\,,$

e possiamo vedere che aumenta linearmente con .$t\sigma^2$$t$

La media è zero in ogni momento; se simulassi le serie più volte e facessi la media tra le serie per un determinato periodo, ciò si aggirerebbe intorno a 0

$\quad^{\text{Figure: 500 simulated random walks with sample mean in white and }}$
$\quad^{ \pm \text{ one standard deviation in red. Standard deviation increases with } \sqrt{t}\,.}$

Ecco un modo per immaginarlo. Per semplificare le cose, sostituiamo il tuo rumore bianco con un gettone monetae $e_i$$e_i$

questo semplifica la visualizzazione, non c'è nulla di veramente fondamentale nel passaggio se non quello di allentare la nostra immaginazione.

Supponiamo ora di aver raccolto un esercito di pinne per monete. Le loro istruzioni sono, al tuo comando, di lanciare la loro moneta e di tenere traccia dei risultati ottenuti, insieme a una somma di tutti i risultati precedenti. Ogni singolo flipper è un'istanza della camminata casuale

e aggregare tutto il tuo esercito dovrebbe darti un'idea del comportamento previsto.

flip 1: Circa metà del tuo esercito lancia la testa e metà lancia la coda. L'aspettativa della somma, presa su tutto il tuo esercito, è zero. Il valore massimo di tutto il tuo esercito è e il minimo è , quindi il raggio totale è .1 - 1 $W$$1$$-1$$2$

flip 2H H T $W$$HH$$TT$$W$$2$$-2$$4$

...

flip n$W$$HH \cdots H$$TT \cdots T$$n$$n$$2n$

Quindi, ecco cosa puoi vedere da questo esperimento mentale:

• L'aspettativa della camminata è zero, poiché ogni gradino della camminata è bilanciato.
• La gamma totale della camminata cresce linearmente con la lunghezza della camminata.

Per recuperare l'intuizione abbiamo dovuto scartare la deviazione standard e usarla in misura intuitiva, il range.

Questo ha a che fare con il fatto che non è casuale "puro", dal momento che la nuova posizione è molto correlata alla precedente?

Sembra che per "puro" intendi indipendente . Nella camminata casuale solo i passi sono casuali e indipendenti l'uno dall'altro. Come hai notato, le "posizioni" sono casuali ma correlate , cioè non indipendenti .

$E[Y_t]=0$$Y_t$$Y_t$

$Y_t=Y_0+\sum_{i=0}^t\varepsilon_t$

$Y_t-Y_{t-1}=\mu+\varepsilon_t$$Y_t$$\mu t$

Facciamo un esempio diverso per una spiegazione intuitiva: lanciare freccette su un bersaglio. Abbiamo un giocatore, che cerca di mirare al bersaglio, che prendiamo per essere una coordinata chiamata 0. Il giocatore lancia alcune volte, e in effetti la media dei suoi tiri è 0, ma non è molto bravo, quindi la varianza è di 20 cm.

Chiediamo al giocatore di lanciare un singolo nuovo dardo. Ti aspetti che colpisca il bullseye?

No. Sebbene la media sia esattamente un bersaglio, quando campioniamo un tiro, è molto probabile che non sia un bersaglio.

$t$

Tuttavia, se prendiamo molti campioni, vedremo che si centra intorno a 0. Proprio come il nostro giocatore di freccette non colpirà quasi mai il bullseye (grande varianza), ma se lancia molte freccette, le centrerà intorno al centro (medio).

Se estendiamo questo esempio alla camminata casuale, possiamo vedere che la varianza aumenta con il tempo, anche se la media rimane a 0. Nel caso della camminata casuale, sembra strano che la media rimanga a 0, anche se saprai intuitivamente che non finisce quasi mai esattamente all'origine. Tuttavia, lo stesso vale per il nostro darter: possiamo vedere che ogni singolo dardo non colpirà quasi mai il bullseye con una varianza crescente, eppure le freccette formeranno una bella nuvola attorno al bullseye - la media rimane la stessa: 0.

Ecco un altro modo per ottenere l'intuizione che la varianza aumenta linearmente con il tempo.

$.1\%$$1.2\%$$X$$365X$

$.1\%$$\pm .05\%$$1.2\%$$\pm .6\%$

Bene, se intuitivamente pensiamo alla varianza come a un intervallo, allora ha senso intuitivo che la varianza aumenta allo stesso modo del ritorno nel tempo, cioè linearmente.