Qual è la varianza del massimo di un campione?

Sto cercando limiti sulla varianza del massimo di un insieme di variabili casuali. In altre parole, sto cercando formule a forma chiusa per $B$ , in modo che

Var (max_{i} X_{i}) \leq B,

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq B \enspace,$ Dove

X = {X_{1}, \dots, X_{M}}

$X = \{ X_1, \ldots, X_M \}$ è un insieme fisso di

M

$M$ variabili casuali con mezzi finiti

μ_{1}, \dots, μ_{M}

$\mu_1, \ldots, \mu_M$ e varianze

σ_{1}^{2}, \dots, σ_{M}^{2}

$\sigma_1^2, \ldots, \sigma_M^2$ .

Posso dedurre che ma questo limite sembra molto lento. Un test numerico sembra indicare che potrebbe essere una possibilità, ma non sono stato in grado di dimostrarlo. Qualsiasi aiuto è apprezzato.

Var (max_{i} X_{i}) \leq \sum_{i} σ_{i}^{2},

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq \sum_i \sigma_i^2 \enspace,$

B = max_{i} σ_{i}^{2}

$B = \max_i \sigma_i^2$

variance bounds maximum

— Peter
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(Vuoi assumere la

sono indipendenti?) La congettura è plausibile, ma sembra essere falsa. Ad esempio, fare alcune prove in cui

è iid con CDF

. La varianza del loro massimo, rispetto alla loro varianza comune, aumenta senza limiti man mano che cresce

X_{i}

$X_i$

X_{i}

$X_i$

1 - x^{1 - s}

$1-x^{1-s}$

1 \leq x \leq \infty

$1\le x\le \infty$

s > 3

$s\gt 3$

M

$M$

— whuber

@whuber Grazie, questo spiega perché non sono stato in grado di provare quella congettura :) Sono davvero interessato al caso in cui la

sia indipendente. Giusto per chiarire, sono per lo più interessato ai limiti generali che usano solo i primi due momenti. Non sono sicuro che esistano limiti generali più acuti della varianza comune.

X_{i}

$X_i$

— Peter,

Devo sottolineare che il tuo limite di somma (supponendo che sia corretto - sarebbe bello vedere uno schizzo della prova) è stretto. Ad esempio, sia

supportato sull'intervallo

con varianze non superiori a

e sia supportato

. Quindi

as, con varianza

X_{2}, \dots, X_{M}

$X_2,\ldots,X_M$

[- \infty, a]

$[-\infty, a]$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

X_{1}

$X_1$

[a, \infty]

$[a,\infty]$

max_{i} X_{i} = X_{1}

$\max_i{X_i}=X_1$

, ma la disuguaglianza può essere ridotta a

restringendo

σ_{1}^{2} \leq σ_{1}^{2} + (M - 1) ε^{2}

$\sigma_1^2\le\sigma_1^2+(M-1)\varepsilon^2$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

— whuber

Per i dati iid, la teoria del valore estremo fornisce le classi di distribuzioni alle quali converge il massimo del campione, con determinate condizioni sulle code delle distribuzioni originali che danno diverse classi delle distribuzioni asintotiche. Quindi dubito che sarai in grado di derivare un buon limite basato solo sui due momenti, anche se ho solo una conoscenza tangenziale della teoria.

— StasK,

Risposte:

Per ogni variabile casuale , il limite generale migliore è come indicato nella domanda originale. Ecco uno schizzo di prova: Se X, Y sono IID, allora . Dato un vettore di variabili eventualmente dipendenti $n$ $X_i$ $\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(\max X_i) \le \sum_i \Var(X_i)$ $E[(X-Y)^2] =2\Var(X)$ , sia un vettore indipendente con la stessa distribuzione congiunta. Per ogni , abbiamo l'unione legata che $(X_1,\ldots ,X_n)$ $(Y_1,\ldots ,Y_n)$ $r>0$ $P[ |\max_i X_i-\max_i Y_i|^2 >r] \le \sum_i P[ | X_i-Y_i|^2 >r]$ , E integrando questo da a rese la disuguaglianza rivendicato. $dr$ $0$ $\infty$

Se sono indicatori IID di eventi di probabilità , allora è un indicatore di un evento di probabilità . Fissando e lasciando che tendano a zero, otteniamo e $X_i$ $\epsilon$ $\max X_i$ $n\epsilon+O(n^2 \epsilon^2)$ $n$ $\epsilon$ $\Var(X_i)=\epsilon-\epsilon^2$ $\Var(\max_i X_i)= n\epsilon +O(n^2\epsilon^2)$ .

— Yuval Peres
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A question on MathOverflow is related to this question.

For IID random variables, the $k$ th highest is called an order statistic.

$X_i$ $1$ $1/10$ $0$ $9/10$ and $M=10$ , then the maximum is $1$ with probability $\approx 1- 1/e$ , so the variance of the population is $0.09$ while the variance of the maximum is about $0.23$ .

Here are two papers on the variances of order statistics:

Yang, H. (1982) "On the variances of median and some other order statistics." Bull. Inst. Math. Acad. Sinica, 10(2) pp. 197-204

Papadatos, N. (1995) "Maximum variance of order statistics." Ann. Inst. Statist. Math., 47(1) pp. 185-193

I believe the upper bound on the variance of the maximum in the second paper is $M\sigma^2$ . They point out that equality can't occur, but any lower value can occur for IID Bernoulli random variables.

— Douglas Zare
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