Varianza del prodotto delle variabili dipendenti

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Qual è la formula per la varianza del prodotto delle variabili dipendenti?

Nel caso di variabili indipendenti la formula è semplice:

v a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E (X Y)^{2} = v a r (X) v a r (Y) + v a r (X) E (Y)^{2} + v a r (Y) E (X)^{2}

${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2} = {\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^2 + {\rm var}(Y)E(X)^2$ Ma qual è la formula per le variabili correlate?

A proposito, come posso trovare la correlazione basata sui dati statistici?

correlation variance

— Riga
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Bene, usando l'identità familiare che hai sottolineato,

v a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E (X Y)^{2}

${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2}$

Utilizzando la formula analoga per la covarianza,

E (X^{2} Y^{2}) = c o v (X^{2}, Y^{2}) + E (X^{2}) E (Y^{2})

$E(X^{2}Y^{2}) = {\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + E(X^2)E(Y^2)$

e

E (X Y)^{2} = [c o v (X, Y) + E (X) E (Y)]^{2}

$E(XY)^{2} = [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$

il che implica che, in generale, può essere scritto come ${\rm var}(XY)$

c o v (X^{2}, Y^{2}) + [v a r (X) + E (X)^{2}] \cdot [v a r (Y) + E (Y)^{2}] - [c o v (X, Y) + E (X) E (Y)]^{2}

${\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + [{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$

Si noti che nel caso dell'indipendenza, e questo si riduce a ${\rm cov}(X^2,Y^2) = {\rm cov}(X,Y) = 0$

[v un' r (X) + E (X)^{2}] \cdot [v un' r (Y) + E (Y)^{2}] - [E (X) E (Y)]^{2}

$[{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ E(X)E(Y) ]^{2}$

e i due termini annullano e ottieni $[ E(X)E(Y) ]^{2}$

v a r (X) v a r (Y) + v a r (X) E (Y)^{2} + v a r (Y) E (X)^{2}

${\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^{2} + {\rm var}(Y)E(X)^{2}$

come hai sottolineato sopra.

Modifica: se tutto ciò che osservi è e non e separatamente, allora non penso che ci sia un modo per stimare o tranne in casi speciali (ad esempio, se hanno mezzi noti a priori ) $XY$ $X$ $Y$ ${\rm cov}(X,Y)$ ${\rm cov}(X^2,Y^2)$ $X,Y$

— macro
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2

perché metti [var (X) + E (X) 2] ⋅ [var (Y) + E (Y) 2] invece di E (X2) E (Y2) ???

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@ user35458, così può finire con l'equazione come espressione di var (X) e var (Y), quindi paragonabile all'affermazione di OP. Si noti che E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2.

— Waldir Leoncio

2

Al fine di rispondere (offline) a una sfida ormai cancellata alla validità di questa risposta, ho confrontato i suoi risultati con il calcolo diretto della varianza del prodotto in molte simulazioni. Non è una formula pratica da usare se puoi evitarlo, perché può perdere una sostanziale precisione attraverso la cancellazione nel sottrarre un termine ampio da un altro - ma non è questo il punto. Una trappola da tenere presente è che questa domanda riguarda variabili casuali. I suoi risultati si applicano ai dati a condizione che si calcolino varianze e covarianze utilizzando denominatori di anziché di $n$ $n-1$ (come di consueto per il software).

— whuber

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Questa è un'aggiunta alla bella risposta di @ Macro che espone esattamente ciò che è necessario sapere per determinare la varianza del prodotto di due variabili casuali correlate. Dal dove,,,

\begin{aligned} (1) & var (X Y) & = E [(X Y)^{2}] - {(E [X Y])}^{2} \\ = E [(X Y)^{2}] - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \\ (2) & = E [X^{2} Y^{2}] - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \\ (3) & = (cov (X^{2}, Y^{2}) + E [X^{2}] E [Y^{2}]) - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(XY) &= E\left[(XY)^2\right] - \left(E[XY]\right)^2 \tag{1}\\ &= E[(XY)^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\\ &= E[X^2Y^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{2}\\ &= \left(\operatorname{cov}(X^2,Y^2)+E[X^2]E[Y^2]\right) - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{3}\\ \end{align}$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

E [X]

$E[X]$

E [Y]

$E[Y]$

ed

possono essere considerati quantità note, dobbiamo essere in grado di determinare il valore di

in

o

in

. Questo non è facile da fare in generale, ma, come già sottolineato, se

e

sonovariabili casualiindipendenti, allora

E [X^{2}]

$E[X^2]$

E [Y^{2}]

$E[Y^2]$

E [X^{2} Y^{2}]

$E\left[X^2Y^2\right]$

(2)

$(2)$

cov (X^{2}, Y^{2})

$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$

(3)

$(3)$

X

$X$

Y

$Y$

. In effetti, ladipendenza,non la correlazione (o la mancanza di essa) è la questione chiave. Il fatto che sappiamo che

uguale a

invece di un valore diverso da zero nonaiuta,da solo, aminimizzare i nostri sforzi nel determinare il valore di

o

anche se

cov (X, Y) = cov (X^{2}, Y^{2}) = 0

$\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(X^2,Y^2) = 0$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

0

$0$

E [X^{2} Y^{2}]

$E\left[X^2Y^2\right]$

cov (X^{2}, Y^{2})

$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$ non semplificare il lato destro

e

un po '.

(2)

$(2)$

(3)

$(3)$

Quando e sono variabili casuali dipendenti , quindi in almeno un caso speciale (abbastanza comune o abbastanza importante), è possibile trovare il valore di relativamente semplice. $X$ $Y$ $E\left[X^2Y^2\right]$

Supponiamo che e siano variabili casuali normali congiuntamente con coefficiente di correlazione . Quindi, condizionata su , la densità condizionale di è una densità normale con media $X$ $Y$ $\rho$ $X = x$ $Y$ e varianza. Pertanto, $E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(x-E[X]\right)$ $\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2)$ che è unafunzionequarticadi, diciamo, e la Legge delle aspettative iterate ci dice che

\begin{aligned} E [X^{2} Y^{2} | X] & = X^{2} E [Y^{2} | X] \\ = X^{2} [var (Y) (1 - ρ^{2}) + {(E [Y] + ρ \sqrt{\frac{var (Y)}{var (X)}} (X - E [X]))}^{2}] \end{aligned}

$\begin{align}E[X^2Y^2 \mid X] &= X^2E[Y^2 \mid X]\\ &= X^2\left[\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2) + \left(E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(X-E[X]\right)\right)^2\right] \end{align}$

X

$X$

g (X)

$g(X)$

\begin{matrix} (4) & E [X^{2} Y^{2}] = E [E [X^{2} Y^{2} | X]] = E [g (X)] \end{matrix}

$E[X^2Y^2] = E\left[E[X^2Y^2\mid X]\right] = E[g(X)]\tag{4}$ dove il lato destro di

può essere calcolato dalla conoscenza del 3o e 4o momento di

- risultati standard che possono essere trovati in molti testi e libri di consultazione (il che significa che sono troppo pigro per cercarli e includerli in questa risposta).

(4)

$(4)$

X

$X$

$XY$

\begin{matrix} (5) & V a r [x y] = {(E [x])}^{2} V a r [y] + {(E [y])}^{2} V a r [x] + 2 E [x] C o v [x, y^{2}] + 2 E [y] C o v [x^{2}, y] + 2 E [x] E [y] C o v [x, y] + C o v [x^{2}, y^{2}] - {(C o v [x, y])}^{2} \end{matrix}

$\mathrm{Var}\left[xy\right] = \left(\mathrm{E}\left[x\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[y\right] + \left(\mathrm{E}\left[y\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[x\right] + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right] + 2\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]\\ + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x,y\right] +\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right] - \left(\mathrm{Cov}\left[x,y\right]\right)^2 \tag{5}$

C o v [x^{2}, y^{2}]

$\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right]$

E [(x - E [x])^{2} (y - E [y])^{2}]

$E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]$

C o v [x^{2}, y]

$\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]$

C o v [x, y^{2}]

$\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right]$

— Dilip Sarwate
fonte

E (X^{2} Y^{2})

$E(X^2 Y^2)$