Quante distribuzioni ci sono nel GLM?

Ho identificato più luoghi nei libri di testo in cui il GLM è descritto con 5 distribuzioni (vale a dire, gamma, gaussiano, binomiale, gaussiano inverso e Poisson). Ciò è anche esemplificato nella funzione familiare in R.

Di tanto in tanto mi imbatto in riferimenti al GLM in cui sono incluse ulteriori distribuzioni ( esempio ). Qualcuno può spiegare perché questi 5 sono speciali o sono sempre nel GLM ma a volte altri lo sono?

Da quello che ho imparato finora, le distribuzioni GLM nella famiglia esponenziale si adattano tutte alla forma: dove è il parametro di dispersione e è il parametro canonico.

f (y; θ, φ) = \exp {\frac{y θ - B (θ)}{φ} + c (y, φ)}

$f(y;\theta,\phi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{\phi}+c(y,\phi)\right\}$

ϕ

$\phi$

θ

$\theta$

Nessuna distribuzione può essere trasformata per adattarsi al GLM?

r probability distributions generalized-linear-model

— timothy.s.lau
fonte

Chiaramente, la distribuzione uniforme non appartiene alla famiglia esponenziale.

— Zhanxiong,

Bella domanda Ad esempio, per quanto riguarda il lognormale?

— Michael M,

@Zhanxiong, non è uniforme un caso speciale di distribuzione beta e la distribuzione beta appartiene alla famiglia esponenziale?

— shf8888,

@ shf8888 AFAIK è solo una distribuzione della famiglia esponenziale nel limite, quando converge alla distribuzione gamma.

— Shadowtalker,

@Zhanxiong, grazie per il chiarimento! Scuse, hai ragione, con limiti sconosciuti non è una distribuzione familiare esponenziale.

— shf8888,

Come indichi, la qualifica per l'utilizzo di una distribuzione in un GLM è che appartiene alla famiglia esponenziale (nota: questa non è la stessa cosa della distribuzione esponenziale! Anche se la distribuzione esponenziale, come distribuzione gamma, è essa stessa parte della famiglia esponenziale). Le cinque distribuzioni elencate sono tutte di questa famiglia e, cosa più importante, sono distribuzioni MOLTO comuni, quindi vengono utilizzate come esempi e spiegazioni.

Come osserva Zhanxiong, la distribuzione uniforme (con limiti sconosciuti) è un classico esempio di distribuzione familiare non esponenziale. shf8888 sta confondendo la distribuzione uniforme generale, su qualsiasi intervallo, con una Uniforme (0, 1). La distribuzione Uniforme (0,1) è un caso speciale della distribuzione beta, che è una famiglia esponenziale. Altre distribuzioni familiari non esponenziali sono i modelli di miscele e la distribuzione t.

La definizione della famiglia esponenziale è corretta e il parametro canonico è molto importante per l'utilizzo di GLM. Tuttavia, ho sempre trovato un po 'più semplice capire la famiglia esponenziale scrivendola come:

f (X; θ) = un' (θ) g (X) \exp [B (θ) R (X)]

$f(x; \theta) = a(\theta)g(x)\exp\left[b(\theta)R(x)\right]$

$\boldsymbol{\theta}$ $\theta$ $\theta$ $x$ $x$ $\theta$

$\theta_1$ $\theta_2$ $\theta_1$ $\theta_2$

— Henry
fonte

La distribuzione beta con entrambi i parametri sconosciuti è ancora una famiglia esponenziale (ma una famiglia esponenziale a 2 parametri). Cosa ti fa pensare che non lo sia? www2.stat.duke.edu/courses/Spring11/sta114/lec/… o wikipedia

— DavidR

Grazie per averlo sottolineato, ho cambiato il mio commento ... hai ragione! Davvero non capisco cosa volessi dire

— Henry,