Stimare la varianza di una popolazione se si conosce la media della popolazione

So che usiamo per stimare la varianza di una popolazione. Ricordo un video della Khan Academy in cui l'intuizione data era che la nostra media stimata è probabilmente un po 'diversa da quella reale, quindi le distanze sarebbero effettivamente maggiori, quindi dividiamo per meno ( anziché ) ottenere un valore maggiore, ottenendo una stima migliore. E ricordo di aver letto da qualche parte, che non ho bisogno di questa correzione se ho la media effettiva della popolazione invece di . Quindi Ma non riesco più a trovarlo. È vero? Qualcuno può darmi un puntatore?$\frac1{n-1}\sum\limits_i(x_i - \bar{x})^2$$x_i - \bar{x}$$n-1$$n$
$\mu$$\bar{x}$$\frac1{n}\sum\limits_i(x_i - \mu)^2$

Si è vero. Nel linguaggio delle statistiche, diremmo che se non si ha conoscenza della popolazione significa, quindi la quantità

$$\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left(x_i-\bar{x} \right)^2$$

è imparziale, il che significa semplicemente che stima la varianza della popolazione in media correttamente . Ma se conosci la media della popolazione, non è necessario utilizzare una stima per questo, questo è il motivo per cui serve e la correzione del campione finito che ne deriva.$\bar{x}$

In effetti, si può dimostrare che la quantità

$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left(x_i-\mu \right)^2$$

non è solo imparziale, ma presenta anche una varianza inferiore rispetto alla quantità sopra indicata. Questo è abbastanza intuitivo poiché parte dell'incertezza è stata rimossa. Quindi usiamo questo in questa situazione.

Vale la pena notare che gli stimatori differiranno molto poco nelle grandi dimensioni del campione e quindi sono asintoticamente equivalenti .