La media del campione è la stima "migliore" della media della distribuzione in un certo senso?


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Secondo la legge (debole / forte) di grandi numeri, dati alcuni punti campione iid di una distribuzione, la loro media campionaria f ( { x i , i = 1 , ... , N } ) : = 1{xiRn,i=1,,N}converge alla media di distribuzione sia in probabilità che come, poiché la dimensione del campioneN va all'infinito.f({xi,i=1,,N}):=1Ni=1NxiN

Quando la dimensione del campione è fissa, mi chiedo se lo stimatore LLN f sia uno stimatore migliore in un certo senso? Per esempio,Nf

  1. la sua aspettativa è la media di distribuzione, quindi è uno stimatore imparziale. La sua varianza è doveσ2è la varianza di distribuzione. Ma è UMVU?σ2Nσ2
  2. c'è qualche funzione tale che f ( { x i , i = 1 , ... , N } ) risolva il problema di minimizzazione: f ( { x i , i = 1 , , N } ) = argmin u R nl0:Rn×Rn[0,)f({xi,i=1,,N})

    f({xi,i=1,,N})=argminuRni=1Nl0(xi,u)?

    In altre parole, è la migliore funzione di contrasto l 0 nel quadro del contrasto minimo (cfr. Sezione 2.1 "Euristica di base della stima" in " Statistiche matematiche: idee di base e argomenti selezionati, Volume 1 " di Bickle e Doksum).fl0

    Ad esempio, se la distribuzione è nota / limitata dalla famiglia di distribuzioni gaussiane, allora la media del campione sarà lo stimatore MLE della media di distribuzione e MLE appartiene al framework di contrasto minimo e la sua funzione di contrasto è meno il log funzione di verosimiglianza.l0

  3. l:Rn×F[0,)f

    f=argminfEiid {xi,i=1,,N} each with distribution Pl(f({xi,i=1,,N}),P)?
    PxiF

    flF

Si noti che quanto sopra sono tre diverse interpretazioni per una "migliore" stima che ho conosciuto finora. Se sei a conoscenza di altre possibili interpretazioni che potrebbero applicarsi allo stimatore LLN, non esitare a menzionarlo.


Un altro modo per caratterizzare uno stimatore: leggere qui lo stimatore coerente . La media del campione è coerente a causa di LLN.
Rohit Banga,

1
X1,X2,,XnU(0,θ)1ni=1nXiθn+1nX(n)

Grazie! Ma come viene calcolata la sua varianza?
Tim

Y=X(n)
f(y)=nyn1θn;y(0,θ)
nn+1YVar(nn+1Y)=1n(n+2)θ21n21n

[0,θ]θ/2θ

Risposte:


4

l0(xu)2(xu)(xu)

Uno stimatore del contrasto minimo è, in determinate condizioni tecniche, sia coerente che asintoticamente normale. Per la media del campione, ciò segue già il LLN e il teorema del limite centrale. Non so che gli stimatori del contrasto minimo siano "ottimali" in alcun modo. La cosa bella degli stimatori del contrasto minimo è che molti stimatori robusti (ad esempio la mediana, gli stimatori di Huber, i quantili di esempio) rientrano in questa famiglia e possiamo concludere che sono coerenti e asintoticamente normali semplicemente applicando il teorema generale per gli stimatori del contrasto minimo, quindi purché controlliamo alcune condizioni tecniche (anche se spesso è molto difficile di quanto sembri).

Una nozione di ottimalità che non menzionate nella domanda è l'efficienza che, in termini approssimativi, riguarda la grandezza di un campione di cui avete bisogno per ottenere una stima di una certa qualità. Vedi http://en.wikipedia.org/wiki/Efficiency_(statistics)#Asymptotic_efficiency per un confronto dell'efficienza di media e mediana (la media è più efficiente, ma la mediana è più robusta per gli outlier).

xi

fPfmaxPFPFPP


Grazie! Esistono buoni riferimenti sulle proprietà dello stimatore del contrasto minimo, come coerenti e asintoticamente normali, nonché esempi come la mediana, gli stimatori di Huber, i quantili di esempio?
Tim

La sezione 5.2.2 del libro di Bickel & Doksum che citi ha un teorema sulla coerenza degli stimatori del contrasto minimo. La sezione 5.4.2 discute la normalità asintotica. Un'altra fonte che raccomando, e che discute degli altri stimatori che menziono, è il libro delle Statistiche asintotiche di van der Vaart . Il capitolo 5 è dedicato agli stimatori M, che è il suo nome per gli stimatori del contrasto minimo.
David R

Rnl2

Intendo la norma euclidea standard: l'ho cambiata in notazione vettoriale per chiarire.
David R,

l
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