Esempio di distribuzione dalla coda pesante che non è a coda lunga

Dalle letture sulle distribuzioni a coda lunga e lunga, ho capito che tutte le distribuzioni a coda lunga sono a coda pesante , ma non tutte le distribuzioni a coda lunga sono a coda lunga .

Qualcuno potrebbe fornire un esempio di:

una funzione di densità continua, simmetrica, a media zero che è a coda lunga
una funzione di densità continua, simmetrica, a media zero, dalla coda pesante ma non dalla coda lunga

così posso capire meglio il significato delle loro definizioni?

Sarebbe ancora meglio se entrambi potessero avere una varianza unitaria.

distributions heavy-tailed

— toliveira
fonte

Dove hai trovato quelle definizioni? Puoi darli qui? Ho pensato a questi come sinonimi!

— kjetil b halvorsen,

@kjetilbhalvorsen: Forse qui: en.wikipedia.org/wiki/…

— Scortchi - Ripristina Monica

@kjetilbhalvorsen SA: Vedi, link E. LA: stavo studiando le definizioni delle distribuzioni "pesante", "grasso" e "long tailed", e ho trovato utili spiegazioni su: (A) [ stats.stackexchange.com/ questions / 10726 /… , (B) [ en.wikipedia.org/wiki/Heavy-tailed_distribution] , (C) [ users.cms.caltech.edu/~adamw/papers/… , (continua)

— toliveira

(continuazione) (E) math.stackexchange.com/questions/685921/… Ho capito che (i) la distribuzione dalla coda pesante è definita come in A, B, C, D, E, (ii) la distribuzione dalla coda lunga è definita come in B, C, E (iii) la definizione di coda grassa è sciolta, come spiegato in A.

— toliveira,

Le due definizioni sono vicine, ma non esattamente le stesse. Una differenza sta nella necessità che il rapporto di sopravvivenza abbia un limite.

Per la maggior parte di questa risposta ignorerò i criteri per la distribuzione come continua, simmetrica e di varianza finita, poiché sono facili da realizzare una volta trovata una distribuzione dalla coda pesante con varianza finita che non è a coda lunga.

Una distribuzione è pesante dalla coda quando per qualsiasi , $F$ $t\gt 0$

\begin{matrix} (1) & \int_{R} e^{t X} d F (X) = \infty . \end{matrix}

$\int_\mathbb{R} e^{t x} dF(x) = \infty.\tag{1}$

Una distribuzione con funzione di sopravvivenza è lunga coda quando $G_F = 1-F$

\begin{matrix} (2) & lim_{x \to \infty} \frac{G_{F} (x + 1)}{G_{F} (x)} = 1. \end{matrix}

$\lim_{x\to \infty} \frac{G_F(x+1)}{G_F(x)} = 1.\tag{2}$

Le distribuzioni dalla coda lunga sono pesanti. Inoltre, poiché aumenta, il limite del rapporto non può superare . Se esiste ed è inferiore a , allora sta diminuendo esponenzialmente - e ciò consentirà alla integrale di convergere. $G$ $(2)$ $1$ $1$ $G$ $(1)$

L'unico modo per esibire una distribuzione a coda pesante che non è a coda lunga, quindi, è modificare una distribuzione a coda lunga in modo che continui a trattenere mentre viene violato. È facile rovinare un limite: cambiarlo in infiniti luoghi che divergono all'infinito. Civorrà un po 'a che fare con , che deve rimanere crescente e cadlag. Un modo è introdurre alcuni salti verso l'alto in , che faràsaltare verso il basso, abbassando il rapporto $(1)$ $(2)$ $F$ $F$ $G$ $G_F(x+1)/G_F(x)$ . A tal fine, definiamo una trasformazione che trasforma in un'altra funzione di distribuzione valida durante la creazione di un salto improvviso al valore , dire un salto a metà strada tra a : $T_u$ $F$ $u$ $F(u)$ $1$

T_{u} [F] (x) = {\begin{cases} F (x) & u < x \\ \frac{1}{2} (1 - F (x)) + F (x) & u \geq x \end{cases}

$T_u[F](x) = \begin{cases} F(x) & u<x \\ \frac{1}{2} (1-F(x))+F(x) & u\geq x \end{cases}$

Ciò non altera alcuna proprietà di base di : è ancora una funzione di distribuzione. $F$ $T_u[F]$

L'effetto su è farlo cadere per un fattore di a . Pertanto, poiché non è in diminuzione, ogni volta che , $G_F$ $1/2$ $u$ $G$ $u-1 \le x \lt u$

\frac{G_{T_{u} [F]} (x + 1)}{G_{T_{u} [F]} (x)} \leq \frac{1}{2} .

$\frac{G_{T_u[F]}(x + 1)}{G_{T_u[F]}(x )} \le \frac{1}{2}.$

Se scegliamo una sequenza crescente e divergente di , $u_i$ , e applicare ogni in successione, determina una sequenza di distribuzioni con e $i=1, 2, \ldots$ $T_{u_i}$ $F_i$ $F_0=F$

F_{i + 1} = T_{u_{i}} [F_{i}]

$F_{i+1} = T_{u_i}[F_i]$

per . Dopo l' gradino, $i \ge 1$ $i^\text{th}$ tutto rimane la stessa per . Di conseguenza la sequenza diè una sequenza non decrescente, limitata, puntuale di funzioni di distribuzione, che implica il suo limite $F_i(x), F_{i+1}(x), \ldots$ $x\lt u_i$ $F_i(x)$

F_{\infty} = lim_{i \to \infty} F_{i}

$F_\infty = \lim_{i\to\infty} F_i$

è una funzione di distribuzione. Per costruzione, non è a coda lunga perché ci sono infiniti punti in cui il suo rapporto di sopravvivenza scende a o inferiore, mostrando non può avere come un limite. $G_{F_\infty}(x+1)/G_{F_\infty}(x))$ $1/2$ $1$

Questo grafico mostra una funzione di sopravvivenza $G(x) = x^{-1/5}$ che è stato tagliato in questo modo ai punti Notare l'asse verticale logaritmico. $u_1 \approx 12.9, u_2 \approx 40.5, u_3 \approx 101.6, \ldots.$

La speranza è quella di essere in grado di scegliere in modo tale che rimane pesante dalla coda. Sappiamo, poiché coda pesante, che ci sono numeri $(u_i)$ $F_\infty$ $F$ per i quali $0 = u_0 \lt u_1 \lt u_2 \lt \cdots \lt u_n \cdots$

\int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F (x) \geq 2^{i - 1}

$\int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF(x) \ge 2^{i-1}$

per ogni . La ragione per la sulla destra è che le probabilità assegnate da a valori fino a sono stati successivamente tagliato a metà volte. Tale procedura, quando è sostituita da per qualsiasi , ridurrà a , ma non inferiore. $i \ge 1$ $2^{i-1}$ $F$ $u_i$ $i-1$ $dF(x)$ $dF_{j}(x)$ $j\ge i$ $2^{i-1}$ $1$

Questo è un diagramma di per densità corrispondente alla precedente funzione di sopravvivenza e alla sua versione "ridotta". Le aree al di sotto di questa curva contribuiscono alle aspettative. L'area da a è ; l'area da a è , che quando viene ridotta (nella parte blu inferiore) diventa un'area di ; l'area da a è , che quando viene ridotta diventa un'area di $x f(x)$ $f$ $1$ $u_1$ $1$ $u_1$ $u_2$ $2$ $1$ $u_2$ $u_3$ $4$ $1$ , e così via. Pertanto, l'area sotto ogni "gradino" successivo a destra è . $1$

Scegliamo una tale sequenza per definire . Possiamo verificare che rimanga pesante scegliendo per un numero intero e applicando la costruzione: $(u_i)$ $F_\infty$ $t=1/n$ $n$

\begin{aligned} \int_{R} e^{t x} d F_{\infty} (x) & = \int_{R} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / n} d F_{\infty} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{\infty} (x) \\ = \sum_{i = n + 1}^{\infty} \int_{u_{i - 1}}^{u_{i}} e^{x / i} d F_{i} (x) \\ \geq \sum_{i = n + 1}^{\infty} 1, \end{aligned}

$\eqalign{ \int_\mathbb{R} e^{t x} dF_\infty(x) &=\int_\mathbb{R} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/n} dF_\infty(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_\infty(x) \\ &= \sum_{i=n+1}^\infty \int_{u_{i-1}}^{u_i} e^{x/i} dF_i(x) \\ &\ge \sum_{i=n+1}^\infty 1, }$

which still diverges. Since $t$ is arbitrarily small, this demonstrates that $F_\infty$ remains heavy-tailed, even though its long-tailed property has been destroyed.

This is a plot of the survival ratio $G(x+1)/G(x)$ for the cut down distribution. Like the ratio of the original $G$ , it tends toward an upper accumulation value of $1$ --but for unit-width intervals terminating at the $u_i$ , the ratio suddenly drops to only half of what it originally was. These drops, although becoming less and less frequent as $x$ increases, occur infinitely often and therefore prevent the ratio from approaching $1$ in the limit.

If you would like a continuous, symmetric, zero-mean, unit-variance example, begin with a finite-variance long-tailed distribution. $F(x) = 1 - x^{-p}$ (for $x \gt 0$ ) will do, provided $p \gt 1$ ; so would a Student t distribution for any degrees of freedom exceeding $2$ . The moments of $F_\infty$ cannot exceed those of $F$ , whence it too has finite variance. "Mollify" it via convolution with a nice smooth distribution, such as a Gaussian: this will make it continuous but will not destroy its heavy tail (obviously) nor the absence of a long tail (not quite as obvious, but it becomes obvious if you change the Gaussian to, say, a Beta distribution whose support is compact).

Symmetrize the result--which I will still call $F_\infty$ --by defining

F_{s} (x) = \frac{1}{2} (1 + sgn (x) F_{\infty} (| x |))

$F_s(x) = \frac{1}{2}\left(1 + \text{sgn}(x) F_\infty(|x|)\right)$

for all $x\in\mathbb{R}$ . Its variance will remain finite, so it can be standardized to the desired distribution.

— whuber
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Brilliantly explained. You offered not just an example but also the justification for it. The clarity of the explanation allowed me to understand (almost) the whole of it. I will practice it in some numerical examples.

— toliveira