Le due definizioni sono vicine, ma non esattamente le stesse. Una differenza sta nella necessità che il rapporto di sopravvivenza abbia un limite.
Per la maggior parte di questa risposta ignorerò i criteri per la distribuzione come continua, simmetrica e di varianza finita, poiché sono facili da realizzare una volta trovata una distribuzione dalla coda pesante con varianza finita che non è a coda lunga.
Una distribuzione è pesante dalla coda quando per qualsiasi t > 0 ,Ft>0
∫RetxdF(x)=∞.(1)
Una distribuzione con funzione di sopravvivenza è lunga coda quandoGF=1−F
limx → ∞solF( x + 1 )solF( x )= 1(2)
Le distribuzioni dalla coda lunga sono pesanti. Inoltre, poiché aumenta, il limite del rapporto ( 2 ) non può superare 1 . Se esiste ed è inferiore a 1 , allora G sta diminuendo esponenzialmente - e ciò consentirà alla integrale ( 1 ) di convergere.G(2)11sol( 1 )
L'unico modo per esibire una distribuzione a coda pesante che non è a coda lunga, quindi, è modificare una distribuzione a coda lunga in modo che continui a trattenere mentre ( 2 ) viene violato. È facile rovinare un limite: cambiarlo in infiniti luoghi che divergono all'infinito. Civorrà un po 'a che fare con F , che deve rimanere crescente e cadlag. Un modo è introdurre alcuni salti verso l'alto in F , che faràsaltare G verso il basso, abbassando il rapporto G F ( x + 1 ) / G F ( x )( 1 )( 2 )FFsolsolF( x + 1 ) / GF(x). A tal fine, definiamo una trasformazione che trasforma F in un'altra funzione di distribuzione valida durante la creazione di un salto improvviso al valore u , dire un salto a metà strada tra F ( u ) a 1 :TuFuF(u)1
Tu[F](x)={F(x)12(1−F(x))+F(x)u<xu≥x
Ciò non altera alcuna proprietà di base di : T u [ F ] è ancora una funzione di distribuzione.FTu[F]
L'effetto su è farlo cadere per un fattore di 1 / 2 a u . Pertanto, poiché G non è in diminuzione, ogni volta che u - 1 ≤ x < u ,GF1/2uGu−1≤x<u
GTu[F](x+1)GTu[F](x)≤12.
Se scegliamo una sequenza crescente e divergente di , i = 1 ,ui , e applicare ogni T u i in successione, determina una sequenza di distribuzioni F i con F 0 = F ei=1,2,…TuiFiF0=F
Fi+1=Tui[Fi]
per . Dopo l' i esimo gradino, F i ( x ) , F i +i≥1ithtutto rimane la stessa perx< u i . Di conseguenza la sequenza di F i (x)è una sequenza non decrescente, limitata, puntuale di funzioni di distribuzione, che implica il suo limiteFi(x),Fi+1(x),…x<uiFi(x)
F∞=limi→∞Fi
è una funzione di distribuzione. Per costruzione, non è a coda lunga perché ci sono infiniti punti in cui il suo rapporto di sopravvivenza scende a 1 / 2 o inferiore, mostrando non può avere 1 come un limite.GF∞(x+1)/GF∞(x))1/21
Questo grafico mostra una funzione di sopravvivenza G(x)=x−1/5 che è stato tagliato in questo modo ai punti Notare l'asse verticale logaritmico.u1≈12.9,u2≈40.5,u3≈101.6,….
La speranza è quella di essere in grado di scegliere in modo tale che F ∞ rimane pesante dalla coda. Sappiamo, poiché F ha la coda pesante, che ci sono numeri(ui)F∞F per i quali0=u0<u1<u2<⋯<un⋯
∫uiui−1ex/idF(x)≥2i−1
per ogni . La ragione per la 2 i - 1 sulla destra è che le probabilità assegnate da F a valori fino a u i sono stati successivamente tagliato a metà i - 1 volte. Tale procedura, quando d F ( x ) è sostituita da d F j ( x ) per qualsiasi j ≥ i , ridurrà 2 i - 1 a 1 , ma non inferiore.i≥12i−1Fuii−1dF(x)dFj(x)j≥i2i−11
Questo è un diagramma di per densità f corrispondente alla precedente funzione di sopravvivenza e alla sua versione "ridotta". Le aree al di sotto di questa curva contribuiscono alle aspettative. L'area da 1 a u 1 è 1 ; l'area da u 1 a u 2 è 2 , che quando viene ridotta (nella parte blu inferiore) diventa un'area di 1 ; l'area da u 2 a u 3 è 4 , che quando viene ridotta diventa un'area di 1xf(x)f1u11u1u221u2u341, e così via. Pertanto, l'area sotto ogni "gradino" successivo a destra è .1
Scegliamo una tale sequenza per definire F ∞ . Possiamo verificare che rimanga pesante scegliendo t = 1 / n per un numero intero n e applicando la costruzione:(ui)F∞t=1/nn
∫RetxdF∞(x)=∫Rex/ndF∞(x)=∑i=1∞∫uiui−1ex/ndF∞(x)≥∑i=n+1∞∫uiui−1ex/ndF∞(x)≥∑i=n+1∞∫uiui−1ex/idF∞(x)=∑i=n+1∞∫uiui−1ex/idFi(x)≥∑i=n+1∞1,
which still diverges. Since t is arbitrarily small, this demonstrates that F∞ remains heavy-tailed, even though its long-tailed property has been destroyed.
This is a plot of the survival ratio G(x+1)/G(x) for the cut down distribution. Like the ratio of the original G, it tends toward an upper accumulation value of 1--but for unit-width intervals terminating at the ui, the ratio suddenly drops to only half of what it originally was. These drops, although becoming less and less frequent as x increases, occur infinitely often and therefore prevent the ratio from approaching 1 in the limit.
If you would like a continuous, symmetric, zero-mean, unit-variance example, begin with a finite-variance long-tailed distribution. F(x)=1−x−p (for x>0) will do, provided p>1; so would a Student t distribution for any degrees of freedom exceeding 2. The moments of F∞ cannot exceed those of F, whence it too has finite variance. "Mollify" it via convolution with a nice smooth distribution, such as a Gaussian: this will make it continuous but will not destroy its heavy tail (obviously) nor the absence of a long tail (not quite as obvious, but it becomes obvious if you change the Gaussian to, say, a Beta distribution whose support is compact).
Symmetrize the result--which I will still call F∞--by defining
Fs(x)=12(1+sgn(x)F∞(|x|))
for all x∈R. Its variance will remain finite, so it can be standardized to the desired distribution.