Perché una variabile casuale "binomiale negativa" si chiama così?

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Non capisco perché la variabile casuale "binomiale negativa" abbia quel nome. Cosa c'è di negativo al riguardo? Cos'è il binomio al riguardo? Che cos'è il binomio negativo al riguardo?

— Hatshepsut
fonte

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Vedi anche i commenti sotto questa domanda più generale - che merita davvero una risposta adeguata, mea culpa .

— Glen_b

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È un riferimento al fatto che un certo coefficiente binomiale che appare nella formula per quella distribuzione può essere scritto più semplicemente con numeri negativi.

Quando conduci una serie di esperimenti con probabilità di successo $p$ , la probabilità che vedrai $r$ fallimenti dopo esattamente $k$ prove è

${k+r−1}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$ .

Questo può anche essere scritto come

$(−1)^k$ ${−r}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

e la parola "negativo" si riferisce a quella $−r$ in quel coefficiente binomiale. Osserva come questa formula assomigli alla formula per la normale distribuzione binomiale ad eccezione di quel coefficiente di segno.

Un altro nome per la distribuzione binomiale negativa è la distribuzione di Pascal, quindi esiste anche quella.

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Risposta più dettagliata secondo Wikipedia:

La funzione di massa di probabilità della distribuzione binomiale negativa è

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

Qui la quantità tra parentesi è il coefficiente binomiale ed è uguale a

$\binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}$ .

Questa quantità può in alternativa essere scritta nel modo seguente, spiegando il nome "binomio negativo":

$\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}$ .

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Non capisco la tua affermazione "Quando conduci una serie di esperimenti con probabilità di successo p, la probabilità che vedrai r fallimenti dopo esattamente k prove è ...". Mi sembra che la formula dovrebbe essere . Dove hai preso la formula che hai elencato? Ho il sospetto che forse non stai descrivendo il processo casuale abbastanza bene. Intendi la probabilità di ottenere esattamente guasti dopo aver condotto prove ? In tal caso, il non dovrebbe essere ? Cosa sta succedendo qui? Puoi definire l'evento a cui ti stai riferendo, più attentamente?

(\binom{k}{r}) p^{k - r} (1 - p)^{r}

${k \choose r} p^{k-r} (1-p)^r$

r

$r$

k + r - 1

$k+r-1$

p^{k}

$p^k$

p^{k - 1}

$p^{k-1}$

— DW,

@DW È stata una formulazione sfortunata. Ciò si intende, non è un rischio per vedere guasti dato che sono stati condotti studi, ma un rischio per necessità prove per osservare guasti.

r

$r$

k

$k$

k

$k$

r

$r$

— ameba dice Ripristina Monica il

-4

Denizens of StatsExchange, in primo luogo, la buona notizia, questo autore copia la formula di Wikipedia in modo che tutto vada bene. La descrizione scritta da questo autore era errata. Avrebbe dovuto scrivere la probabilità di ottenere r guasti dopo k + r percorsi.
Si noti che nelle prime prove k + r-1 ci sono esattamente errori r-1 e k successi. Quindi la formula include correttamente (k + r-1 C r-1) p ^ k (1-p) ^ (r-1).
Quindi, per definizione, la prova finale, vale a dire la prova k + r, deve essere la r fallimento. Questo evento è indipendente, quindi moltiplichiamo semplicemente la probabilità 1-p per trovare la probabilità dichiarata.

— Shawn Berry
fonte

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— Ertxiem - ripristina Monica il