Diminuendo una sequenza diminuisce (supportato dalla rappresentazione di un gran numero di punti)

Molte delle domande che ho pubblicato su SE nell'ultimo mese sono state nell'obiettivo di aiutarmi a risolvere questo particolare problema. A tutte le domande è stata data una risposta, ma non riesco ancora a trovare una soluzione. Quindi, ho pensato che avrei dovuto solo porre il problema che sto cercando di risolvere direttamente.

Sia , dove F n = ( 1 - ( 1 - F n - 1 ) c ) c , F 0 = x , c ≥ 2 (intero) e ogni F n è un cdf su ( 0 , 1 ) .$X_n \sim F_n$$F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$$F_0 = x$$c\geq 2$$F_n$$(0,1)$

Voglio dimostrare che diminuisce con n per tutto c (o anche, per ogni particolare c )! Posso mostrare che F n converge in una massa di Dirac nella soluzione unica in x c = ( 1 - ( 1 - x ) c ) c ) Per c = 2 , x 2 = ( 3 - $\mathbb{E}X_n$$n$$c$$c$$F_n$$x_c = (1-(1-x)^c)^c)$$c=2$. Quando si guarda una trama di cdf per aumentaren's per la stessac, tutti i cdf si incrociano inxn. Il valore diF(x)diminuisce per valori dixrispetto adxne aumenti di valori dixmaggiore dixn(comenaumenti) convergenti ad una linea verticalexn.$x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$$n$$c$$x_n$$F(x)$$x$$x_n$$x$$x_n$$n$$x_n$

Di seguito è riportato un diagramma di per n = 1 a 40 per c = 2 a 7 . Naturalmente è una trama discreta, ma ho le linee unite per facilitare la visualizzazione. Per generare questo diagramma, ho usato NIntegrate in Mathematica, anche se avevo bisogno di farlo su 1 - F - 1 n , poiché per qualche motivo Mathematica non è stata in grado di generare risposte su alti valori di n per la funzione originale. I due dovrebbero essere equivalenti, secondo il teorema di Young, ∫ 1 0 F ( x $\mathbb{E}X_n$$n = 1$$40$$c = 2$$7$$1-F^{-1}_n$$n$ . Nel mio caso, F - 1 n ( x ) = 1 - ( 1 - ( F - 1 n - 1 ) $\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$ ,F - 1 n=x.$F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$$F^{-1}_n = x$

Come puoi vedere, sposta molto rapidamente ad una distanza di un minuto dal suo punto fisso x c . All'aumentare di c , il punto fisso diminuisce (eventualmente andrà a 0).$EX_n$$x_c$$c$

Quindi, sembra SEMPRE vero che diminuisce con n per tutto c . Ma non posso provarlo. Qualcuno mi può aiutare? (di nuovo, sarei in qualche modo contento anche solo di una singola c ) E, se non puoi, ma hai un'idea del perché questo particolare problema potrebbe essere irrisolvibile, ti preghiamo di condividere anche quella intuizione. $EX_n$$n$$c$$c$

Questo è stato risposto in MO di Pietro Majer qui .