Qual è la varianza di questo stimatore

Voglio stimare la media di una funzione f, cioè dove e sono variabili casuali indipendenti. Ho dei campioni di f ma non iid: ci sono iid di campioni per e per ogni ci sono campioni da :

E_{X, Y} [f (X, Y)]

$E_{X,Y}[f(X,Y)]$

X

$X$

Y

$Y$

Y_{1}, Y_{2}, \dots Y_{n}

$Y_1,Y_2,\dots Y_n$

Y_{i}

$Y_i$

n_{i}

$n_i$

X

$X$

X_{i, 1}, X_{i, 2}, \dots, X_{i, n_{i}}

$X_{i,1},X_{i,2},\dots, X_{i,n_i}$

Quindi in totale ho dei campioni $f(X_{1,1},Y_1) \dots f(X_{1,n_1},Y_1 ) \dots f(X_{i,j},Y_i) \dots f(X_{n,n_n},Y_n)$

Per stimare la media I calcolare Ovviamentequindiè uno stimatore imparziale. Ora mi chiedo cosa sia, ovvero la varianza dello stimatore.

μ = Σ_{io = 1}^{n} 1 / n * Σ_{j = 1}^{n_{io}} \frac{f (X_{io, j}, Y_{io})}{n_{io}}

$\mu=\sum_{i=1}^n 1/n * \sum_{j=1}^{n_i}\frac{ f(X_{i,j},Y_i)}{n_i}$

E_{X, Y} [μ] = E_{X, Y} [f (X, Y)]

$E_{X,Y}[\mu]=E_{X,Y}[f(X,Y)]$

μ

$\mu$

V a r (μ)

$Var(\mu)$

Modifica 2: è questa la varianza corretta?

V un' r (μ) = \frac{V un' r_{Y} (μ_{io})}{n} + Σ_{io = 1}^{n} \frac{V un' r_{X} (f (X, Y_{io})))}{n_{io} * n^{2}}

$Var(\mu)=\frac{Var_Y(\mu_i)}{n}+\sum_{i=1}^n \frac{Var_X(f(X,Y_i)))}{n_i*n^2}$

n_{i} = \infty

$n_i=\infty$

n_{i} = 1

$n_i=1$

Modifica (ignora questo):

$\mu_i=\sum_{j=1}^{n_i}\frac{ f(X_{i,j},Y_i)}{n_i}$ $E_X[f(X,Y_i)]$

Usando la formula standard per la varianza possiamo scrivere:

V un' r (μ) = 1 / n^{2} Σ_{l = 1}^{n} Σ_{K = 1}^{n} C o v (μ_{l}, μ_{K})

$Var(\mu)=1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=1}^n Cov(\mu_l,\mu_k)$

1 / n^{2} (Σ_{io = 1}^{n} V un' r (μ_{l}) + 1 / n^{2} Σ_{l = 1}^{n} Σ_{K = l + 1}^{n} 2 * C o v (μ_{l}, μ_{K}))

$1/n^2( \sum_{i=1}^n Var(\mu_l)+ 1/n^2\sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(\mu_l,\mu_k))$

X_{i j}

$X_{ij}$

1 / n^{2} (Σ_{io = 1}^{n} 1 / n_{io} V un' r (f (X_{io, j}, Y_{io})) + 1 / n^{2} Σ_{l = 1}^{n} Σ_{K = l + 1}^{n} 2 * C o v (μ_{l}, μ_{K}))

$1/n^2( \sum_{i=1}^n 1/n_i Var(f(X_{i,j},Y_i))+1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(\mu_l,\mu_k))$

\begin{aligned} C o v (μ_{l}, μ_{K}) & = C o v (Σ_{j = 1}^{n_{l}} \frac{f (X_{j, l}, Y_{l})}{n_{l}}, Σ_{j = 1}^{n_{K}} \frac{f (X_{j, K}, Y_{K})}{n_{K}}) \\ = \frac{1}{(n_{K} * n_{l})} * C o v (Σ_{j = 1}^{n_{l}} f (X_{j, l}, Y_{l}), Σ_{j = 1}^{n_{K}} f (X_{j, K}, Y_{K})) \\ = \frac{1}{(n_{K} * n_{l})} * Σ_{j = 1}^{n_{l}} Σ_{j = 1}^{n_{K}} C o v (f (X, Y_{l}), f (X, Y_{K})) \\ = \frac{n_{K} * n_{l}}{(n_{K} * n_{l})} C o v (f (X_{io, l}, Y_{l}), f (X_{io, K}, Y_{K})) \\ = C o v (f (X, Y_{l}), f (X, Y_{K})) \end{aligned}

$\begin{align} Cov(\mu_l,\mu_k)&=Cov(\sum_{j=1}^{n_l} \frac{f(X_{j,l},Y_l)}{n_{l}},\sum_{j=1}^{n_k} \frac{f(X_{j,k},Y_k)}{n_{k}})\\ &=\frac{1}{(n_k*n_l)}*Cov(\sum_{j=1}^{n_l} f(X_{j,l},Y_l),\sum_{j=1}^{n_k} f(X_{j,k},Y_k))\\ &=\frac{1}{(n_k*n_l)}*\sum_{j=1}^{n_l}\sum_{j=1}^{n_k}Cov( f(X,Y_l), f(X,Y_k))\\ &=\frac{n_k*n_l}{(n_k*n_l)}Cov( f(X_{i,l},Y_l), f(X_{i,k},Y_k))\\ &=Cov( f(X,Y_l), f(X,Y_k)) \end{align}$

1 / n^{2} (Σ_{io = 1}^{n} 1 / n_{io} V un' r (f (X, Y_{io})) + 1 / n^{2} Σ_{l = 1}^{n} Σ_{K = l + 1}^{n} 2 * C o v (f (X, Y_{l}), f (X, Y_{K})))

$1/n^2( \sum_{i=1}^n 1/n_i Var(f(X,Y_i))+1/n^2 \sum_{l=1}^n \sum_{k=l+1}^n 2*Cov(f(X,Y_l),f(X,Y_k)))$

Il calcolo sopra è corretto?
$Cov(f(X,Y_l),f(X,Y_k)))$
La varianza converge a 0 se lascio andare n all'infinito?

variance unbiased-estimator estimators

— Benedikt Bünz
fonte

$\ell$ $k$ $k=\ell$ $X_{12}, Y_1$ $X_{22}, Y_2$ $X$ $Y$

$k=\ell$ $Cov(f(X_{jk}, Y_k), f(X_{jk}, Y_k)) = Var(f(X_{jk}, Y_k))$ $Cov(\mu_k, \mu_k) = \frac{1}{n_k} Var(f(X_{jk}, Y_k))$

Q3: Sì: dopo queste modifiche, avrai solo un numero lineare di termini nell'ultima somma, quindi vincerà il termine quadratico del denominatore.

— eric_kernfeld
fonte

La risposta a "La varianza converge a 0 se lascio andare n all'infinito?" è sì".

— eric_kernfeld