Considera una distribuzione simmetrica e simmetrica due volte . Ora considera una seconda distribuzione differenziabile due volte distorta nel senso che:$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$

$$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

dove è l'ordinamento convesso di van Zwet [0] in modo che sia equivalente a:$\preceq_c$$(1)$

$$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$$

Considera ora una terza distribuzione differenziabile due volte soddisfacente:$\mathcal{F}_Y$

$$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

La mia domanda è: possiamo sempre trovare una distribuzione e una distribuzione simmetrica per riscrivere qualsiasi (tutti e tre definiti come sopra) in termini di una composizione di e come:$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Y$

$$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$$

o no?

Modificare:

Ad esempio, se è il Weibull con parametro di forma 3.602349 (in modo che sia simmetrico) e è la distribuzione di Weibull con il parametro di forma 3/2 (in modo che sia ben inclinato), ottengo$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$

$$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$$

impostando come distribuzione di Weibull con parametro di forma 2.324553. Si noti che tutte e tre le distribuzioni soddisfano:$\mathcal{F}_Y$

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$$ Come richiesto. Mi chiedo se questo sia vero in generale (nelle condizioni indicate).

• [0] van Zwet, WR (1979). Media, mediana, modalità II (1979). Statistica Neerlandica. Volume 33, Numero 1, pagine 1--5.

No!

Un semplice esempio contrario è fornito dalla Tukey di distribuzione (caso speciale per del Tukey ed distribuzione).$g$$h=0$$g$$h$

Ad esempio, sia il Tukey con il parametro e sia il Tukey con il parametro e una distribuzione Tukey per la quale . Poiché , queste tre distribuzioni soddisfano:$\mathcal{F}_X$$g$$g_X=0$$\mathcal{F}_Z$$g$$g_Z>0$$\mathcal{F}_Y$$g$$g_Y\leq g_Z$$h=0$

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

(il primo deriva dalla definizione del Tukey che è simmetrica se , i successivi da [0], Teorema 2.1 (i)).$g$$g=0$

Ad esempio, per , abbiamo che:$g_Z=0.5$

$$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$$

(per qualche motivo, il minimo sembra essere sempre vicino a ).$g_Y\approx g_Z/2$

• [0] HL MacGillivray Proprietà della forma delle famiglie g-and-h e Johnson. Comm. Statista. —Theory Methods, 21 (5) (1992), pagg. 1233–1250

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Modificare:

Nel caso del Weibull, l'affermazione è vera:

Sia la distribuzione di Weibull con il parametro di forma (il parametro di scala non influisce sull'ordine convesso, quindi possiamo impostarlo su 1 senza perdita di generalità). Allo stesso modo , e e .$\mathcal{F}_Z$$w_Z$$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F}_X$$w_Y$$w_X$

In primo luogo, è possibile ordinare sempre tre distribuzioni Weibull nel senso di [0].

Quindi, nota che:

$$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$$

Ora, per il Weibull:

$$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$$

così che

$$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$$

da

$$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$$

Pertanto, il reclamo può sempre essere soddisfatto impostando .$w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

• [0] van Zwet, WR (1979). Media, mediana, modalità II (1979). Statistica Neerlandica. Volume 33, Numero 1, pagine 1--5.
• [1] Groeneveld, RA (1985). Asimmetria per la famiglia weibull. Statistica Neerlandica. Volume 40, Numero 3, pagine 135–140.