Qual è la distribuzione per il massimo (minimo) di due variabili casuali normali indipendenti?

11

In particolare, supponiamo che e siano normali variabili casuali (indipendenti ma non necessariamente distribuite in modo identico). Data una particolare , esiste una buona formula per o concetti simili? Sappiamo che è normalmente distribuito, forse una formula per la deviazione media e standard in termini di quelli per e ? Ho controllato i soliti posti (Wikipedia, Google) ma non ho trovato nulla. $X$ $Y$ $a$ $P(\max(X,Y)\leq x)$ $\max(X,Y)$ $X$ $Y$

normal-distribution extreme-value

— Richard Rast
fonte

4

Correlati: distribuzione del massimo di due variabili normali correlate , distribuzione asintotica della statistica del massimo ordine delle normali casuali IID , e esiste un'espressione analitica per la distribuzione del massimo di un normale campione k?

— Scortchi - Ripristina Monica

12

Il massimo di due normali non identici può essere espresso come distribuzione Azzalini skew-Normal. Vedi, ad esempio, un documento di lavoro del 2007 / presentazione di Balakrishnan

Uno sguardo distorto alle statistiche degli ordini bivariati e multivariati
Prof. N. Balakrishnan
Working paper / presentation (2007)

Un recente articolo di ( Nadarajah e Kotz - visualizzabile qui ) fornisce alcune proprietà di max : $(X,Y)$

Nadarajah, S. e Kotz, S. (2008), "Distribuzione esatta del massimo / minimo di due variabili casuali gaussiane", OPERAZIONI IEEE SU SISTEMI DI INTEGRAZIONE SCALA MOLTO GRANDE (VLSI), VOL. 16, NO. 2, FEBBRAIO 2008

Per lavori precedenti, vedere:

AP Basu e JK Ghosh, "Identificabilità del multinormale e di altre distribuzioni secondo il modello di rischi concorrenti", J. Multivariate Anal., Vol. 8, pagg. 413–429, 1978

HN Nagaraja e NR Mohan, "Sull'indipendenza della distribuzione della vita del sistema e la causa del fallimento", Scandinavian Actuarial J., pp. 188-198, 1982.

YL Tong, la distribuzione normale multivariata. New York: Springer-Verlag, 1990.

Si può anche usare un sistema di algebra del computer per automatizzare il calcolo. Ad esempio, dato con pdf e con pdf : $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ $f(x)$ $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ $g(y)$

... il pdf di è: $Z = max(X,Y)$

dove sto usando la Maximumfunzione dal pacchetto mathStatica di Mathematica e Erfindica la funzione di errore.

— Wolfies
fonte

Dal momento che non ho accesso a questo documento, ti interessa condividere la formula che derivano?

— Richard Rast,

Ho aggiunto ulteriori riferimenti ... e fornito una derivazione CAS automatizzata

— wolfies,

2

@RichardRast Ho trovato un riferimento dal vivo a Nadarajah e Kotz - aggiunto sopra per il piacere della visione

— lupi

0

Sono sorpreso che nelle risposte precedenti la proprietà più interessante non sia menzionata: la distribuzione di probabilità cumulativa per il massimo è il prodotto delle rispettive distribuzioni di probabilità cumulativa.

— gciriani
fonte

Interessante. È solo per normali o per qualsiasi distribuzione? Hai una citazione che posso guardare per leggere di più su questo?

— Richard Rast,

@RichardRast, è vero per qualsiasi tipo di variabili indipendenti distribuite casualmente vedi questo post mathoverflow.net/questions/145659/…

— gciriani