Il fatto che mio figlio italiano frequenterà una scuola elementare cambierà il numero previsto di bambini italiani presenti nella sua classe?

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Questa è una domanda derivante da una situazione di vita reale, per la quale sono stato sinceramente perplesso sulla sua risposta.

Mio figlio dovrebbe iniziare la scuola elementare a Londra. Dato che siamo italiani, ero curioso di sapere quanti bambini italiani stavano già frequentando la scuola. Ho chiesto questo al funzionario addetto all'ammissione durante la domanda e mi ha detto che hanno in media 2 bambini italiani per classe (di 30).

Ora sono nel momento in cui so che mio figlio è stato accettato, ma non ho altre informazioni sugli altri bambini. I criteri di ammissione si basano sulla distanza, ma ai fini di questa domanda, credo che potremmo supporre che si basi sull'assegnazione casuale di un ampio campione di candidati.

Quanti bambini italiani dovrebbero essere nella classe di mio figlio? Sarà più vicino a 2 o 3?

probability self-study average

— user90213
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Questo mi ricorda la vecchia battuta, "Porto sempre una bomba quando viaggio, perché quali sono le probabilità che due persone abbiano una bomba sullo stesso aereo?"

— Bill the Lizard,

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Il fatto che il funzionario addetto all'ammissione ti abbia comunicato di avere in media 2 bambini italiani per classe rende questi dati "sospetti" per me. Se derivasse da un calcolo reale, ti saresti aspettato un numero non rotondo. Quindi è possibile che il valore reale sia 1.51 o 2.49, diciamo. Inoltre, poiché è più probabile che il funzionario addetto all'ammissione cerchi di "farti piacere" con la sua risposta, potrebbero aver arrotondato per eccesso anziché per difetto (se pensavano che saresti felice di avere tuo figlio tra gli altri italiani), suggerendo che la probabilità la distribuzione su valori vicini a 2 sarebbe non simmetrica. Le risposte di seguito possono essere adattate.

— PatrickT,

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@PatrickT "Mode" è un tipo valido di media.

— Ian Ringrose,

1

Grazie mille ragazzi per aver risposto. Ora ho anche pubblicato una domanda simile, ma con una diversa inquadratura ( stats.stackexchange.com/questions/173969/… ), che è stata innescata da alcuni dei tuoi input / risposte.

— user90213

1

@PatrickT Penso che ci siano molte più persone scarsamente istruite che sarebbero confuse da 1,5 ("Come hai mezzo figlio?") Rispetto alle statistiche che i secchioni infastiditi dall'arrotondamento eccessivo mi sembrano più probabili. (Supponendo che il numero più preciso non sia effettivamente 1,9 o 2,1).

— Dan Neely,

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Come sempre è necessario considerare un modello probabilistico che descriva come la scuola distribuisce i bambini tra le classi. possibilità:

La scuola si preoccupa che tutte le classi abbiano lo stesso numero di cittadini stranieri.
La scuola cerca anche di accertarsi che ogni nazionalità sia rappresentata più o meno la stessa in ogni classe.
La scuola non considera affatto la nazionalità e distribuisce in modo casuale o basato su altri criteri.

Tutti questi sono ragionevoli. Data la strategia 2, la risposta alla tua domanda è no. Quando usano la strategia 3, l'aspettativa sarà vicina a 3, ma un po 'più piccola. Questo perché tuo figlio occupa uno "slot" e hai una possibilità in meno per un italiano casuale.

Quando la scuola usa la strategia 1, anche le aspettative aumentano; quanto dipende dal numero di cittadini stranieri per classe.

Senza conoscere la tua scuola non c'è modo di rispondere in modo più perfetto. Se hai solo una lezione all'anno e i criteri di ammissione sono come descritti, la risposta sarebbe la stessa di 3 sopra.

Calcolo per 3 in dettaglio:

E (X) = 1 + E (B (29, 2 / 30)) = 1 + 1,9333 = 2,9333.

$E(X) = 1 + E(B(29, 2/30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.$

X è il numero di bambini italiani nella classe. Il 1 viene dal bambino noto, i 29 sono il resto della classe e 2/30 è la probabilità che un bambino sconosciuto sia italiano dato ciò che dice la scuola. B è la distribuzione binomiale.

Si noti che a partire da non si ottiene la risposta corretta, poiché sapere che un bambino specifico è italiano viola la scambiabilità assunta dalla distribuzione binomiale. Confronta questo con il paradosso del ragazzo o della ragazza , dove fa la differenza se sai che un bambino è una ragazza piuttosto che sapere che il bambino più grande è una ragazza. $E(X|X\geq1)$

— Erik
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2

Facciamo il presupposto binomiale e lasciamo

. Sembra che la scelta tra

e

n = 30

$n=30$

E (X \sim B (30, 2 / 30) | X \geq 1)

$E(X\sim B(30,2/30)|X\ge1)$

E (B (29, 2 / 30))

$E(B(29,2/30))$ può dipendere dai presupposti. Ad esempio, se presumo che qualsiasi padre italiano a Londra sia molto probabilmente perplesso quanto @ user90213 e poi pubblicherà una domanda qui, vedere questa domanda non modifica molto le mie aspettative. Ho imparato solo che un bambino è italiano e calcolerebbe

. È quello che hai chiamato "scambiabilità"? Se invece user90213 è il mio caro amico e conosco suo figlio, allora arriverei alla tua risposta.

E (X | X \geq 1)

$E(X|X\ge1)$

— ameba dice che ripristini Monica il

2

@amoeba Sapere che in una scuola specifica e in una classe specifica c'è il figlio di user90213 è abbastanza per distinguerlo dal resto, non dipende da quanto sia speciale il tuo rapporto con user90213. Ma è difficile in quanto è importante come apprendi le informazioni. Ad esempio, se chiedi via e-mail che il bambino italiano più anziano in una classe ti contatta per nome e ricevi una risposta, dovresti scegliere l' approccio

anche se in seguito puoi distinguere il bambino. Prova a cercare su Google il paradosso femminile o fai una domanda più generale per quello. Ci sono molte discussioni al riguardo.

E (X | X > 1)

$E(X|X>1)$

— Erik,

Esatto, grazie Erik. Quello che intendevo nel commento precedente è qualcosa di simile al tuo esempio di e-mail. Se presumo che tutti i genitori italiani in una classe pubblicheranno una domanda qui, vedere questa domanda è esattamente come essere contattato dal figlio italiano più grande. Sembra che siamo generalmente d'accordo, +1. Il link wiki è davvero interessante.

— ameba dice Ripristina Monica il

(+1) Ma perplesso perché dici "Se hai solo una lezione all'anno [...]".

— Scortchi - Ripristina Monica

@Scortchi Se la scuola ha solo una classe all'anno, allora può usare le due strategie denominate 1 e 2, poiché ogni bambino che viene accettato nella scuola quest'anno finisce nella stessa classe.

— Erik,

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Un altro modo di vedere questo è a livello dei singoli bambini. Supponendo che i 30 bambini disegnati in modo casuale da una popolazione (che hai indicato che possiamo), possiamo lavorare a ritroso alla probabilità approssimativa di un bambino italiano in corso di elaborazione da questa popolazione: = . $2/30$ $1/15$

Dato che sappiamo che uno dei 30 è italiano, dobbiamo solo calcolare la probabilità per i bambini rimanenti:

29 \cdot 1 / 15 = 29 / 15 = 1.933 \dots

$29 \cdot 1/15 = 29/15 = 1.933\ldots$

Quindi, sapendo che tuo figlio è italiano cambia il numero previsto di bambini italiani nella classe a circa 2.933, che è molto più vicino a 3 di 2.

— Thomas Cleberg
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Ecco i miei pensieri su come affrontare questo:

Lascia che la variabile casuale denoti il numero di bambini italiani in una classe che è attualmente di dimensione . Lascia che sia l'indicatore per l'essere un nuovo bambino italiano. Supponiamo di aggiungere il figlio a questa classe. Quindi il numero atteso di bambini italiani in questa classe aumentata di taglia è $S_n$ $n$ $X$ $X$ $n+1$ . Nota che qui l'indipendenza non ha importanza poiché stiamo solo usando la linearità delle aspettative. Se il bambino è noto per essere italiano, allora con probabilità 1, quindi abbiamo aumentato il valore atteso di 1. $\mathbb E(S_n + X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb E(X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb P(X = 1)$ $X$ $X = 1$

— JLD
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Quindi ci saranno

bambini in questa classe dopo l'aggiunta del bambino italiano?

n + 1

$n+1$

— Scortchi - Ripristina Monica

Sì. C'è qualcosa che mi manca correlato a quello?

— jld

1

Dipende da come leggi la domanda. Supponiamo che le classi siano esattamente di 30 bambini.

— Scortchi - Ripristina Monica

1

Forse ho frainteso la domanda. Ho pensato che si stesse chiedendo come l'aggiunta di un noto bambino italiano cambi l'aspettativa.

— giovedì

1

Questo è un ottimo punto sul fatto che le dimensioni delle classi potrebbero essere

— limitate

1

Sulla base della ammissione informazioni Ufficio, il numero dei bambini italiani segue binomio , assumendo l'indipendenza. Ora sai nella tua classe, c'è almeno un bambino italiano, quindi l'attesa diventa . Per , questa restituisce (se ottengo i miei calcoli a destra). $\mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $\mathbb{E}(X|X\geq1)$ $X\sim \mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $2.28$

Modificare. Valutazione dell'aspettativa:

E [X | X \geq 1] = \sum_{i = 0}^{30} i P (X = i | X \geq 1) = \sum_{0}^{30} i \cdot \frac{P (X = i, X \geq 1)}{P (X \geq 1)} = \sum_{1}^{30} i \cdot \frac{P (i)}{1 - P (0)}

$E[X|X\geq1]=\sum_{i=0}^{30}iP(X=i|X\geq1)=\sum_0^{30}i\cdot \frac{P(X=i, X\geq1)}{P(X\geq1)}=\sum_1^{30}i\cdot \frac{P(i)}{1-P(0)}$

(notare la modifica del limite inferiore della somma nell'ultimo passaggio)

— jf328
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1

Puoi approfondire le aspettative condizionali?

— Antoni Parellada,

3

La tua risposta è errata Il modo corretto per calcolare questo sarebbe come 1 (il figlio noto) + E (B (29, 2/30)) che risulta come 2.9333. E l'assunzione della distribuzione binomiale è discutibile.

— Erik,

Un'altra cosa che vorrei sottolineare: a) il tuo calcolo delle aspettative condizionali è sbagliato. Ma b) ancora più importante, iniziare con le tue aspettative condizionali non è corretto. Sapere che un bambino specifico è italiano rompe la scambiabilità assunta dalla distribuzione binormale. È molto simile al paradosso del ragazzo-ragazza ( en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox ) in cui fa la differenza se sai che il bambino più grande è una ragazza o sai che uno dei due bambini è una ragazza.

— Erik,

Scratch comment a) dall'alto. Ma b) è comunque più serio;)

— Erik,

Sono d'accordo. Per OP, la distribuzione non è più binomiale (30, 2/30), ma effettivamente 1 + binomiale (29, 2/30)

— jf328

-3

No. La tua conoscenza degli eventi imminenti non cambia nulla dell'esperienza tipica della scuola.

— mercato
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-1. Ciò non è corretto, come spiegato in dettaglio in altre risposte e commenti qui.

— ameba dice Reinstate Monica il

perdona la mia mancanza di matematica avanzata, ma ciò che rende il figlio di questo gentiluomo NON uno dei bambini "tipicamente 2"? ... tale da finire vicino al 3

— Mart

Vedi stats.stackexchange.com/questions/173844/#comment328621_173844

— ameba dice

Mart: Immagina di lanciare una moneta dieci volte e contare le teste; niente di strano sulla moneta o sul modo in cui la lancio. Ripeto l'esperimento molte volte, e in media vedo quasi esattamente 5 teste in dieci tiri; quali risultati vedi (1000 lanci in tutto, di cui il 50,3% erano capi, ben all'interno della variazione prevista per una procedura di lancio della moneta corretta; decidiamo di concordare sul fatto che il processo sembra almeno praticamente equo). Ora faccio l'esperimento un'altra volta con te e vedi che i primi 4 tiri sono tutti testa. Qual è il numero atteso di teste nel set completo di dieci tiri? 5? Di Più?

— Glen_b

Nota che con il tuo argomento precedente, i primi quattro "avrebbero potuto essere quattro dei cinque previsti". Ma poi diresti che c'è meno del 50% di probabilità nei prossimi sei lanci (in effetti stai dicendo che c'è solo una probabilità di 1/6 in media). Come farebbe a sapere che la moneta esce testa meno spesso?

— Glen_b