Come calcolare il valore atteso di una distribuzione normale standard?

Vorrei imparare a calcolare il valore atteso di una variabile casuale continua. Sembra che il valore atteso è in cui è la funzione di densità di probabilità di .

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x f (x) d x

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\mathrm{d}x$

f (x)

$f(x)$

X

$X$

Supponiamo che la funzione di densità di probabilità di sia che è la densità del distribuzione normale standard. $X$

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}$

Quindi, vorrei prima collegare il PDF e ottenere che è un'equazione dall'aspetto piuttosto disordinato. La costante può essere spostata all'esterno dell'integrale, dando

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x

$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x$

\frac{1}{\sqrt{2 π}}

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$

E [X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x .

$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x.$

Sono bloccato qui. Come posso calcolare l'integrale? Lo sto facendo correttamente finora? È il modo più semplice per ottenere il valore atteso?

random-variable pdf expected-value

— mmh
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il titolo della tua domanda è fuorviante. In effetti, stai provando a calcolare il valore atteso di una normale variabile casuale standard. È inoltre possibile calcolare il valore atteso di una funzione di un camper. Preferirei inserire il titolo: "Come calcolare il valore atteso di una distribuzione normale standard". Oppure "Come calcolare il valore atteso di una variabile casuale continua".

— Gumeo,

@ GuðmundurEinarsson corretto.

— mmh,

"Mi blocco qui. Come calcolo l'integrale?" Trova la derivata di . (No, non sto facendo il faceto e non sto suggerendo un inutile lavoro occupato per te; sono mortalmente serio; Fallo e basta!). Quindi fissa molto attentamente il derivato che hai trovato.

- e^{- \frac{x^{2}}{2}}

$-e^{-\frac{x^2}{2}}$

— Dilip Sarwate,

Risposte:

Ci sei quasi, segui il tuo ultimo passo:

E [X] = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} x e^{\frac{- x^{2}}{2}} d x = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} e^{- x^{2} / 2} d (- \frac{x^{2}}{2}) = - \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2} ∣_{- \infty}^{\infty} = 0

$E[X] = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty} xe^{\displaystyle\frac{-x^{2}}{2}}\mathrm{d}x\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2/2}d(-\frac{x^2}{2})\\=-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\mid_{-\infty}^{\infty}\\=0$ .

Oppure puoi usare direttamente il fatto che è una funzione dispari e che i limiti dell'integrale sono simmetria. $xe^{-x^2/2}$

— Profondo nord
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L'argomento di simmetria funziona solo se entrambe le metà sono esse stesse convergenti.

— Glen_b -Restate Monica

Potresti spiegare cosa succede nella seconda fila?

— mmh,

Il commento di Glen è corretto se non è convergente, quindi il cambio di variabili non funzionerà

— Deep North,

La seconda riga è uguale alla prima riga poiché nota anche il segno negativo all'inizio. Quindi puoi pensare al cambiamento della variabile per l'integrazione, quindi la cambi di nuovo poiché i limiti non sono cambiati. Oppure puoi usare l'integrazione per parti. E ricorda

d (- \frac{x^{2}}{2}) = - x d x

$d(-\frac{x^2}{2})=-xdx$

\int_{a}^{b} e^{y} d y = e^{y} ∣_{a}^{b}

$\int_{a}^{b}e^y dy=e^y\mid_{a}^{b}$

— Deep North,

Per usare la simmetria per ottenere la media devi sapere che converge - lo fa per questo caso, ma più in generale non puoi assumerlo. Ad esempio, l'argomento della simmetria direbbe che la media dello standard Cauchy è 0, ma non ne ha uno.

\int_{0}^{\infty} x f (x) d x

$\int_0^\infty xf(x) dx$

— Glen_b

Dato che vuoi imparare metodi per calcolare le aspettative e desideri conoscere alcuni modi semplici, ti divertirai a usare la funzione di generazione del momento (mgf)

ϕ (t) = E [e^{t X}] .

$\phi(t) = E[e^{tX}].$

Il metodo funziona particolarmente bene quando la funzione di distribuzione o la sua densità sono date come esponenziali stessi. In questo caso, in realtà non devi fare alcuna integrazione dopo aver osservato

t^{2} / 2 - {(x - t)}^{2} / 2 = t^{2} / 2 + (- x^{2} / 2 + t x - t^{2} / 2) = - x^{2} / 2 + t x,

$t^2/2 -\left(x - t\right)^2/2 = t^2/2 + (-x^2/2 + tx - t^2/2) = -x^2/2 + tx,$

perché, scrivendo la funzione di densità normale standard su come 2/2 (per una costante di cui non sarà necessario conoscere il valore), ciò consente di riscrivere il suo mgf come $x$ $C e^{-x^2/2}$ $C$

ϕ (t) = C \int_{R} e^{t x} e^{- x^{2} / 2} d x = C \int_{R} e^{- x^{2} / 2 + t x} d x = e^{t^{2} / 2} C \int_{R} e^{- (x - t)^{2} / 2} d x .

$\phi(t) = C\int_\mathbb{R} e^{tx} e^{-x^2/2} dx = C\int_\mathbb{R} e^{-x^2/2 + tx} dx = e^{t^2/2}C\int_\mathbb{R} e^{-(x-t)^2/2} dx .$

Sul lato destro, seguendo il termine , riconoscerai l'integrale della probabilità totale di una distribuzione normale con media e varianza unitaria, che pertanto è . conseguentemente $e^{t^2/2}$ $t$ $1$

ϕ (t) = e^{t^{2} / 2} .

$\phi(t) = e^{t^2/2}.$

Poiché la densità normale si riduce a grandi valori così rapidamente, non vi sono problemi di convergenza indipendentemente dal valore di . è riconoscibilmente analitico a , il che significa che è uguale alla sua serie MacLaurin $t$ $\phi$ $0$

ϕ (t) = e^{t^{2} / 2} = 1 + (t^{2} / 2) + \frac{1}{2} {(t^{2} / 2)}^{2} + \dots + \frac{1}{k!} {(t^{2} / 2)}^{k} + \dots .

$\phi(t) = e^{t^2/2} = 1 + (t^2/2) + \frac{1}{2} \left(t^2/2\right)^2 + \cdots + \frac{1}{k!}\left(t^2/2\right)^k + \cdots.$

Tuttavia, poiché converge assolutamente per tutti i valori di , possiamo anche scrivere $e^{tX}$ $tX$

E [e^{t X}] = E [1 + t X + \frac{1}{2} (t X)^{2} + \dots + \frac{1}{n!} (t X)^{n} + \dots] = 1 + E [X] t + \frac{1}{2} E [X^{2}] t^{2} + \dots + \frac{1}{n!} E [X^{n}] t^{n} + \dots .

$E[e^{tX}] = E\left[1 + tX + \frac{1}{2}(tX)^2 + \cdots + \frac{1}{n!}(tX)^n + \cdots\right] \\ = 1 + E[X]t + \frac{1}{2}E[X^2]t^2 + \cdots + \frac{1}{n!}E[X^n]t^n + \cdots.$

Due serie di potenza convergenti possono essere uguali solo se sono uguali termine per termine, quindi (confrontando i termini che coinvolgono ) $t^{2k} = t^n$

\frac{1}{(2 k)!} E [X^{2 k}] t^{2 k} = \frac{1}{k!} (t^{2} / 2)^{k} = \frac{1}{2^{k} k!} t^{2 k},

$\frac{1}{(2k)!}E[X^{2k}]t^{2k} = \frac{1}{k!}(t^2/2)^k = \frac{1}{2^kk!} t^{2k},$

che implica

E [X^{2 k}] = \frac{(2 k)!}{2^{k} k!}, k = 0, 1, 2, \dots

$E[X^{2k}] = \frac{(2k)!}{2^kk!},\ k = 0, 1, 2, \ldots$

(e tutte le aspettative di poteri dispari di sono zero). Per praticamente nessuno sforzo hai ottenuto le aspettative di tutti i poteri integrali positivi di contemporaneamente. $X$ $X$

Le variazioni di questa tecnica possono funzionare altrettanto bene in alcuni casi, come , a condizione che l'intervallo di sia adeguatamente limitato. I mgf (e il suo parente stretto la funzione caratteristica ) sono così generalmente utili, che li troverai riportati nelle tabelle delle proprietà distributive, come nella voce Wikipedia sulla distribuzione Normale . $E[1/(1-tX)] = E[1 + tX + (tX)^2 + \cdots + (tX)^n + \cdots]$ $X$ $E[e^{itX}]$

— whuber
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