Scrivi le statistiche dell'ordine come , . Inizia notando che implica(x1,x2,x3,x4)0≤x1≤x2≤x3≤x4≤1x1≤x2
Pr[3x1≥x2+x3]=1−Pr[3x1<x2+x3]=1−Pr[x1≤min(x2,x2+x33)].
Quest'ultimo evento si divide in due eventi disgiunti a seconda di quale di e è il più grande:x2(x2+x3)/2
Pr[x1≤min(x2,x2+x33)]=Pr[x2≤x32,x1≤x2]+Pr[x32≤x2≤x3,x1≤x2+x33].
Perché la distribuzione congiunta è uniforme sul set , con densità ,0≤x1≤x2≤x3≤x4≤14!dx4dx3dx2dx1
Pr[x2≤x32,x1≤x2]=4!∫10dx4∫x40dx3∫x3/20dx2∫x20dx1=14
e
Pr[x32≤x2≤x3,x1≤x2+x33]=4!∫10dx4∫x40dx3∫x3x3/2dx2∫(x2+x3)/20dx1=712.
(Ogni integrale è semplice da eseguire come integrale iterato; sono coinvolte solo le integrazioni polinomiali.)
La probabilità desiderata è quindi pari a = .1−(1/4+7/12)1/6
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Una soluzione più intelligente (che semplifica il lavoro) deriva dal riconoscimento che quando ha distribuito esponenziali, , quindi (scrivendo ) , le somme parziali ridimensionateyj1≤j≤n+1y1+y2+⋯+yn+1=Y
xi=∑j=1iyj/Y,
1≤i≤n , sono distribuiti come le statistiche dell'ordine uniforme. Poiché è quasi sicuramente positivo, ne consegue facilmente che per qualsiasi ,Y n≥3
Pr[3x1≥x2+x3]=Pr[3y1Y≥y1+y2Y+y1+y2+y3Y]=Pr[3y1≥(y1+y2)+(y1+y2+y3)]=Pr[y1≥2y2+y3]=∫∞0exp(−y3)∫∞0exp(−y2)∫∞2y2+y3exp(−y1)dy1dy2dy3=∫∞0exp(−y3)∫∞0exp(−y2)[exp(−2y2−y3)]dy2dy3=∫∞0exp(−2y3)dy3∫∞0exp(−3y2)dy2=1213=16.