invarianza di correlazione alla trasformazione lineare:

Questo è in realtà uno dei problemi della 4a edizione di Basic Econometrics del Gujarati (Q3.11) e afferma che il coefficiente di correlazione è invariante rispetto al cambio di origine e scala, cioè dove , , , sono costanti arbitrarie.

corr (a X + b, c Y + d) = corr (X, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$

a

$a$

b

$b$

c

$c$

d

$d$

Ma la mia domanda principale è la seguente: Siano e osservazioni accoppiate e supponiamo che e siano positivamente correlate, cioè . So che sarebbe negativo in base all'intuizione. Tuttavia se prendiamo , ne consegue che $X$ $Y$ $X$ $Y$ $\text{corr}(X,Y)>0$ $\text{corr}(-X,Y)$ $a=-1, b=0, c=1, d=0$ che non ha senso.

corr (- X, Y) = corr (X, Y) > 0

$\text{corr}(-X,Y) = \text{corr}(X,Y) >0$

Gradirei se qualcuno potesse evidenziare il divario. Grazie.

— Daniel
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a c > 0

$ac>0$

@Glen_b Sì, penso che il libro lo affermi in modo errato, a meno che non sia cieco poiché non vedo davvero alcuna condizione imposta alle costanti.

— Daniel,

Può essere che la scala sia intesa come una quantità positiva.

— Xi'an,

@ Xi'an Potrebbe essere, ma non credo che sia indicato nel libro. Ma grazie mille per la modifica e la risposta a proposito :)

— Daniel,

corr (X, Y) = \frac{cov (X, Y)}{var (X)^{1 / 2} var (Y)^{1 / 2}}

$\text{corr}(X,Y)=\frac{\text{cov}(X,Y)}{\text{var}(X)^{1/2}\,\text{var}(Y)^{1/2}}$

cov (a X + b, c Y + d) = a c cov (X, Y)

$\text{cov}(aX+b,cY+d)=ac\,\text{cov}(X,Y)$

corr (a X + b, c Y + d) = corr (X, Y)

$\text{corr}(aX+b, cY+d) = \text{corr}(X,Y)$

a

$a$

c

$c$

a c > 0

$ac>0$

— Xi'an
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