Approssimativo

Stavo leggendo casualmente un articolo (in economia) che aveva la seguente approssimazione per $\log(E(X))$ :

$\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5 \mathrm{var}(\log(X))$ ,

che l'autore dice esatto se X è log-normale (che io conosco).

Quello che non so è come ricavare questa approssimazione. Ho provato a calcolare un'approssimazione di Taylor del secondo ordine e mi è venuta in mente questa espressione:

$\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5\frac{\mathrm{var}(X)}{E(X)^2}$

Con il metodo Delta , la varianza di una funzione di un camper è approssimativamente uguale alla varianza del camper volte la derivata quadrata valutata alla media. Quindi

$$\mathrm{var}(\log(X)) \approx \frac{1}{ \left[E(X)\right] ^2 } \mathrm{var}(X)$$

E il gioco è fatto. La tua derivazione aveva ragione ovviamente.