Il set up
Hai questo modello:
Le densità per le quali
f(p)=1
px|p∼beta(α,β)∼binomial(n,p)
e in particolare nota che
f(p)=1B(α,β)pα−1(1−p)β−1
1g(x|p)=(nx)px(1−p)n−x
1B(α,β)=Γ(α+β)Γ(α)Γ(β).
La versione implicita
Adesso. La distribuzione posteriore è proporzionale alla precedente moltiplicata per la probabilità . Possiamo ignorare le costanti (cioè cose che non sono ), producendo:
g p h ( pfgp
h ( p|x )∝ f( p ) g( p|x )= pα - 1( 1 - p )β- 1pXpn - x= pα + x - 1( 1 - p )β+ n - x - 1.
Questo ha la "forma" di una distribuzione beta con parametri e , e sappiamo quale dovrebbe essere la costante normalizzante corrispondente per una distribuzione beta con quei parametri: . Oppure, in termini di funzioni gamma,
In altre parole, possiamo fare un po 'meglio di una relazione proporzionale senza alcun lavoro extra per le gambe, e andare direttamente all'uguaglianza:
α + xβ+ n - x1 / B ( α + x , β+ n - x )
1B ( α + x , β+ n - x )= Γ ( n + α + β)Γ ( α + x ) Γ ( β+ n - x ).
h ( p|x ) = Γ ( n + α + β)Γ ( α + x ) Γ ( β+ n - x )pα + x - 1( 1 - p )β+ n - x - 1.
Quindi si può usare la conoscenza della struttura di una distribuzione beta per recuperare facilmente un'espressione per il posteriore, piuttosto che passare attraverso un'integrazione disordinata e simili.
In qualche modo si aggira al posteriore completo annullando implicitamente le costanti normalizzanti della distribuzione articolare, che può essere fonte di confusione.
La versione esplicita
Potresti anche macinare le cose proceduralmente, il che può essere più chiaro.
In realtà non è molto più lungo. Nota che possiamo esprimere la distribuzione congiunta come
e la distribuzione marginale di as
f( p ) g( x|p ) = 1B ( α , β)( nX) pα + x - 1( 1 - p )β+ n - x - 1
X∫10f( p ) g( x|p ) dp= 1B ( α , β)( nX) ∫10pα + x - 1( 1 - p )β+ n - x - 1dp= 1B ( α , β)( nX) Γ(α+x)Γ(β+ n - x )Γ ( α + β+ n - x )
Quindi possiamo esprimere il posteriore usando il teorema di Bayes di
che è la stessa cosa che abbiamo ottenuto in precedenza.
h ( p|x )= f( p ) g( x|p )∫10f( p ) g( x|p ) dp= 1B ( α , β)( nX) pα + x - 1( 1 - p )β+ n - x - 11B ( α , β)( nX) Γ(α+x)Γ(β+ n - x )Γ ( α + β+ n )= Γ ( n + α + β)Γ ( α + x ) Γ ( β+ n - x )pα + x - 1( 1 - p )β+ n - x - 1