I contorni

Presumo una configurazione generale di regressione, ovvero una funzione continua $h_\theta:X\to \mathbb R^n$ viene scelta da una famiglia $\{h_\theta\}_\theta$ per adattarsi ai dati dati $(x_i,y_i)\in X\times \mathbb R^n, i=1,\ldots, k$ ( $X$ può essere qualsiasi spazio come cubo $[0,1]^m$ in effetti qualsiasi spazio topologico ragionevole) secondo alcuni criteri naturali.

Esistono applicazioni di regressione in cui si è interessati a un contorno $h^{-1}(y)$ di $h$ per un certo punto $y\in \mathbb R^n$ - per esempio lo zero impostato $h^{-1}(0)$ ?

La spiegazione del mio interesse è la seguente: poiché in molte situazioni vi è incertezza legata alla acquisita $h_\theta$ (imprecisione o mancanza dei dati), si potrebbe voler analizzare lo zero impostato $h^{-1}(0)$ "in modo robusto". Vale a dire, studiare le caratteristiche dell'insieme zero che sono comuni a tutte le "perturbazioni" di $h$ . Una comprensione molto buona è stata recentemente sviluppata in un contesto molto generale in cui le perturbazioni $f$ possono essere mappe continue arbitrarie vicine a $h$ nella norma $\ell_\infty$ . O, sostanzialmente equivalentemente, $f$ è arbitrario continuo tale che per ogni $x\in X$ abbiamo $|f(x)-h(x)|\le c(x)$ dove $c:X\to\mathbb R$ fornisce un valore di confidenza ad ogni $x$ .

La nostra motivazione principale per lo sviluppo della teoria e degli algoritmi è stata l'eccitante matematica alla base (essenzialmente tutti i problemi / domande si riducono alla teoria dell'omotopia). Tuttavia, nella fase attuale, per l'ulteriore sviluppo e implementazione degli algoritmi, dobbiamo scegliere impostazioni e obiettivi più specifici.

regression machine-learning multiple-regression

— Marek Krcal
fonte

ci fornisce informazioni su

. Di solito se siamo interessati a

li modelliamo, cioè costruiamo un modello in cui

sono variabili dipendenti. Con noi intendo i testi statistici che ho incontrato. Sarei curioso se qualcuno avesse dimostrato che analizzare

è per niente interessante. Per una semplice regressione lineare in cui

abbiamo

h^{- 1} (0)

$h^{-1}(0)$

x_{i}

$x_i$

x_{i}

$x_i$

x_{i}

$x_i$

h^{- 1} (0)

$h^{-1}(0)$

h (x) = α + x β

$h(x)= \alpha+x\beta$

, importanza di cui faccio fatica a ricordare. Mi piacerebbe essere dimostrato altrimenti, sembra che quello che stai facendo sia abbastanza interessante.

h^{- 1} (0) = \frac{- α}{β}

$h^{-1}(0)=\frac{-\alpha}{\beta}$

— mpiktas,

@mpiktas Grazie per la tua osservazione. Abbiamo avuto in mente casi in cui non è lineare in (ad esempio, la regressione tramite campi casuali gaussiani come nel capitolo 2 del link seguente) in cui l'analisi di sarebbe molto meno banale. gaussianprocess.org/gpml/chapters/RW.pdf

h_{θ}

$h_θ$

x_{i}

$x_i$

h^{- 1} (0)

$h^{−1}(0)$

— Peter Franek

Mi dispiace interpretare l'avvocato del diavolo, ma ho letto il capitolo, ma non riesco ancora a capire perché sarebbe importante. Non banale sì, ma utile, no. Tuttavia sarei felice di essere dimostrato diversamente.

h^{- 1} (0)

$h^{-1}(0)$

— mpiktas,

Gli economisti sono spesso interessati a questo. Stimiamo spesso le funzioni di utilità dei consumatori , dove il dominio descrive la quantità di ciascun bene che un consumatore consuma e la gamma è quanto "felice" il pacchetto di consumo lo rende. Chiamiamo i set di livelli delle funzioni di utilità "curve di indifferenza". Spesso stimiamo le funzioni di costo delle imprese , dove le due parti del dominio sono quantità di ciascun output prodotto dall'azienda e prezzi per ciascun input utilizzato dall'azienda in produzione. Gli insiemi di livelli di sono chiamati curve iso-cost. $u: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R$ $c: \mathbb R^n \times \mathbb R^k \rightarrow \mathbb R$ $c$

Più comunemente, le proprietà degli insiemi di livelli a cui siamo interessati sono le pendenze dei confini. La pendenza di una curva di indifferenza ti dice a che velocità i consumatori scambiano beni diversi: "Quante albicocche saresti disposto a rinunciare per un'altra mela?" La pendenza di una curva iso-costo ti dice (a seconda di quale parte del dominio), quanto sono sostituibili nella produzione diversi output (allo stesso costo, se producessi 10 lame di rasoio in meno, quindi quanti più pin potresti creare) o quanto sono sostituibili i diversi input.

Gli economisti sono completamente ossessionati dai rapporti dei primi derivati parziali perché siamo ossessionati dai compromessi. Questi, immagino, possono essere (sempre?) Pensati come pendenze di confini di insiemi di livelli.

Un'altra applicazione è il calcolo degli equilibri economici. L'esempio più semplice è il sistema di domanda e offerta. La curva di offerta rappresenta la quantità di produttori che sono disposti a fornire a ciascun prezzo: . La curva di domanda rappresenta la quantità che i consumatori sono disposti a richiedere ad ogni prezzo: . Prendi un prezzo arbitrario, , e definisci la domanda in eccesso come . I prezzi di equilibrio sono --- cioè questi sono i prezzi a cui i mercati si allontanano. e possono essere vettori e e sono normalmente non lineari. $q=s(p)$ $q=d(p)$ $p$ $e(p)=d(p)-s(p)$ $e^{-1}(0)$ $q$ $p$ $d$ $s$

Quello che sto descrivendo nel paragrafo precedente (domanda e offerta) è solo un esempio. L'allestimento generale è estremamente comune. In Teoria dei giochi, forse siamo interessati a calcolare gli equilibri di Nash di un gioco. Per fare ciò definisci, per il giocatore , una funzione (la migliore funzione di risposta) che fornisce la loro migliore strategia come intervallo e quali strategie tutti gli altri giocatori stanno giocando come dominio: . Impilali tutti in una funzione di migliore risposta vettoriale: . Se può essere rappresentato come numero reale, è possibile definire una funzione che dia la distanza dall'equilibrio: . Quindi è l'insieme degli equilibri del gioco. $i$ $s_i=br(s^{-i})$ $s=BR(s)$ $s$ $d(s)=BR(s)-s$ $d^{-1}(0)$

Il fatto che gli economisti stimino di solito queste relazioni con la regressione dipende da quanto è ampia la tua definizione di regressione. Comunemente, utilizziamo la regressione delle variabili strumentali. Inoltre, nel caso delle funzioni di utilità, l'utilità non viene osservata, quindi abbiamo vari metodi variabili latenti per stimarli.

— Conto
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