La media di una variabile casuale univariata equivale sempre all'integrale della sua funzione quantile?

Ho appena notato che l'integrazione della funzione quantile di una variabile casuale univariata (inverso cdf) da p = 0 a p = 1 produce la media della variabile. Non ho mai sentito parlare di questa relazione prima d'ora, quindi mi chiedo: è sempre così? In tal caso, questa relazione è ampiamente conosciuta?

Ecco un esempio in Python:

from math import sqrt
from scipy.integrate import quad
from scipy.special import erfinv

def normalPdf(x, mu, sigma):
    return 1.0 / sqrt(2.0 * pi * sigma**2.0) * exp(-(x - mu)**2.0 / (2.0 * sigma**2.0))

def normalQf(p, mu, sigma):
    return mu + sigma * sqrt(2.0) * erfinv(2.0 * p - 1.0)

mu = 2.5
sigma = 1.3
quantileIntegral = quad(lambda p: quantile(p,mu,sigma), 0.0, 1.0)[0]
print quantileIntegral # Prints 2.5.

Sia $F$ il CDF della variabile casuale $X$ , quindi il CDF inverso può essere scritto $F^{-1}$ . Nel tuo integrale fai la sostituzione $p = F(x)$ , $dp = F'(x)dx = f(x)dx$ per ottenere

$$\int_0^1F^{-1}(p)dp = \int_{-\infty}^{\infty}x f(x) dx = \mathbb{E}_F[X].$$

Questo è valido per distribuzioni continue. Bisogna fare attenzione ad altre distribuzioni perché un CDF inverso non ha una definizione univoca.

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Quando la variabile non è continua, non ha una distribuzione assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue, che richiede attenzione nella definizione del CDF inverso e cura negli integrali di calcolo. Si consideri, ad esempio, il caso di una distribuzione discreta. Per definizione, questo è uno il cui CDF $F$ è una funzione step con step di dimensione $\Pr_F(x)$ ad ogni possibile valore $x$ .

Questa figura mostra la CDF di Bernoulli Distribuzione scalati 2 . Cioè, la variabile casuale ha una probabilità 1 / 3 di eguagliare 0 e una probabilità di 2 / 3 di eguagliare 2 . Le altezze dei salti a 0 e 2 danno le loro probabilità. L'attesa di questa variabile è uguale evidentemente 0 × ( 1 / 3 ) + 2 × ( 2 / 3 ) = $(2/3)$$2$$1/3$$0$$2/3$$2$$0$$2$ .$0\times(1/3)+2\times(2/3)=4/3$

Potremmo definire un "CDF inverso" richiedendo$F^{-1}$

$$F^{-1}(p) = x \text{ if } F(x) \ge p \text{ and } F(x^{-}) \lt p.$$

Ciò significa che è anche una funzione di passaggio. Per ogni possibile valore x della variabile casuale, F - 1 raggiungerà il valore x su un intervallo di lunghezza Pr F ( x ) . Pertanto il suo integrale si ottiene sommando i valori x Pr F ( x ) , che è solo l'aspettativa.$F^{-1}$$x$$F^{-1}$$x$$\Pr_F(x)$$x\Pr_F(x)$

Questo è il grafico del CDF inverso dell'esempio precedente. I salti di e 2 / 3 della CDF diventano linee orizzontali di queste lunghezze ad altezze uguali a 0 e 2 , i valori a cui probabilità corrispondono. (L'inverso CDF non è definito oltre l'intervallo [ 0 , 1 ] ). Il suo integrale è la somma di due rettangoli, uno di altezza 0 e base 1 / 3 , l'altra di altezza 2 e base 2 / 3 , per un totale di 4 /$1/3$$2/3$$0$$2$$[0,1]$$0$$1/3$$2$$2/3$$4/3$, come prima.

In generale, per una miscela di una distribuzione continua e una discreta, dobbiamo definire il CDF inverso in parallelo a questa costruzione: ad ogni salto discreto dell'altezza dobbiamo formare una linea orizzontale di lunghezza p come indicato dalla formula precedente.$p$$p$

Un risultato equivalente è ben noto nell'analisi di sopravvivenza : la durata prevista è dove la funzione di sopravvivenza è S ( t ) = Pr ( T > t ) misurata dalla nascita a t = 0 . (Può essere facilmente esteso per coprire valori negativi di t .)

$$\int_{t=0}^\infty S(t) \; dt$$ $S(t) = \Pr(T \gt t)$$t=0$$t$

Quindi possiamo riscriverlo come ma questo è ∫ 1 q = 0 F - 1 ( q

$$\int_{t=0}^\infty (1-F(t)) \; dt$$ come mostrato nelle varie riflessioni dell'area in questione $$\int_{q=0}^1 F^{-1}(q) \; dq$$

We are evaluating:

Let's try with a simple change of variable:

And we notice that, by definition of PDF and CDF:

almost everywhere. Thus we have, by definition of expected value:

For any real-valued random variable $X$ with cdf $F$ it is well-known that $F^{-1}(U)$ has the same law than $X$ when $U$ is uniform on $(0,1)$. Therefore the expectation of $X$, whenever it exists, is the same as the expectation of $F^{-1}(U)$:

$$E(X)=E(F^{-1}(U))=\int_0^1 F^{-1}(u)\mathrm{d}u.$$ The representation $X \sim F^{-1}(U)$ holds for a general cdf $F$, taking $F^{-1}$ to be the left-continuous inverse of $F$ in the case when $F$ it is not invertible.

Note that $F(x)$ is defined as $P(X\le x)$ and is a right-continuous function. $F^{-1}$ is defined as

$$\begin{equation} F^{-1}(p)=\min(x|F(x)\ge p). \end{equation}$$ The $\min$ makes sense because of the right continuity. Let $U$ be a uniform distribution on $[0, 1]$. You can easily verify that $F^{-1}(U)$ has the same CDF as $X$, which is $F$. This doesn't require $X$ to be continuous. Hence, $E(X)=E(F^{-1}(U))=\int_0^1F^{-1}(p)\mathop{dp}$. The integral is the Riemann–Stieltjes integral. The only assumption we need is the mean of $X$ exists ($E|X|<\infty$).