Perché l'IC al 95% per la mediana dovrebbe essere

In varie fonti (vedere ad esempio qui ), viene fornita la seguente formula per l'intervallo di confidenza per la mediana (in particolare allo scopo di disegnare tacche su grafici a scatola e baffo):

$$95\%\ CI_{\rm median} = {\rm Median} \pm \frac{1.57\times IQR}{\sqrt{N}}$$

La costante magica mi fa impazzire, non riesco a capire come sia stato ottenuto. Varie approssimazioni (ad esempio, supponiamo che la nostra distribuzione sia gaussiana e sia grande) non danno indizi - ottengo valori diversi per la costante.$1.57$$N$

Questo è facile. Se controlliamo il documento originale in cui sono stati introdotti i diagrammi intagliati di scatole e baffi ( Robert McGill, John W. Tukey e Wayne A. Larsen. Variazioni di grafici a scatole, The American Statistician, Vol. 32, No. 1 (Feb., 1978), pp. 12-16 ; fortunatamente, è su JSTOR ), abbiamo trovato la sezione 7 in cui questa formula è giustificata nel modo seguente:

Se si desidera una tacca che indica un intervallo di confidenza del 95 percento su ciascuna mediana, si utilizzerà C = 1,96. [Qui C è una costante diversa che è correlata alla nostra, ma la relazione esatta non ha importanza come sarà chiaro in seguito - IS] Tuttavia, poiché si desiderava una forma di "gap gauge" che indichi differenze significative a livello del 95 percento , questo non è stato fatto. Si può dimostrare che C = 1.96 sarebbe appropriato solo se le deviazioni standard dei due gruppi fossero molto diverse. Se fossero quasi uguali, C = 1.386 sarebbe il valore appropriato, con 1,96 risultante in un test troppo rigoroso (ben oltre il 99 percento). Un valore tra questi limiti, C = 1,7, è stato empiricamente selezionato come preferibile. Quindi le tacche utilizzate sono state calcolate come$M \pm 1.7(1.25R/1.35 \sqrt{N})$

$1.7\times 1.25/1.35=1.57$

Quindi, la risposta breve è: non è una formula generale per CI mediano ma uno strumento particolare per la visualizzazione e la costante è stata selezionata empiricamente per raggiungere un obiettivo particolare.

Non c'è magia.

Scusate.