Definizione matematica di tamponamento asintotico

Sto scrivendo un documento che utilizza gli asintotici di riempimento e uno dei miei revisori mi ha chiesto di fornire una definizione matematica rigorosa di cosa siano gli asintotici di riempimento (cioè, con simboli matematici e notazione).

Non riesco a trovarne nessuno in letteratura e speravo che qualcuno potesse indicarmi la direzione di alcuni o fornirmi una definizione scritta da solo.

Se non si ha familiarità con gli asintotici di riempimento (chiamati anche asintotici a dominio fisso), sono i seguenti: Gli asintotici di riempimento si basano su osservazioni che diventano sempre più dense in alcune regioni fisse e limitate man mano che il loro numero aumenta.

Detto altrimenti, riempire gli asintotici è dove vengono raccolti più dati campionando più densamente in un dominio fisso.

Ho già guardato Stein 1999 e Cressie 1993, ma nulla di "matematicamente" rigoroso lì.

Ecco il passaggio citato dal mio documento.

Pertanto, è importante riconoscere il tipo di asintotici con cui abbiamo a che fare. Nel nostro caso, gli asintotici che trattiamo sono basati su osservazioni che diventano sempre più dense in alcune regioni fisse e limitate man mano che il loro numero aumenta. Questi tipi di asintotici sono noti come asintotici a dominio fisso (Stein, 1999) o come riempimento di asintotici (Cressie, 1993). Riempire gli asintotici, dove vengono raccolti più dati campionando più densamente in un dominio fisso, svolgerà un ruolo chiave nell'aiutarci a sviluppare un argomento per ...

Impotente notare, sto campionando le mie osservazioni usando il campionamento di ipercubi latino.

Ecco cosa ha da dire il libro di Cressie sull'aspirazione di asintotici.

asymptotics definition

La sezione 5.8, Infill Asymptotics , della prima (1991) edizione del libro di Cressie è chiara. Sebbene non fornisca una definizione in notazione matematica, un esempio (di asintotici "più delicati del riempimento") viene esplicitamente fornito due pagine dopo usando la notazione matematica. Potresti forse citare la descrizione del tuo articolo di "riempire gli asintotici"?

— whuber

@whuber Ho aggiunto la citazione alla domanda originale

Grazie. Tale citazione non sembra essere sufficientemente specifica. Come, esattamente, esegui il campionamento del dominio fisso? Un esempio (offerto da Cressie) è il campionamento di un punto e quindi, per sempre, il campionamento in un cluster attorno a un punto diverso. Ciò avrebbe probabilmente un comportamento asintotico diverso rispetto al campionamento con un processo omogeneo di Poisson, per esempio.

— whuber

@whuber Sto usando campioni di ipercubo latino.

Ti preghiamo di includere tali informazioni nella tua domanda, perché è cruciale per la risposta.

— whuber

Risposte:

La definizione di riempimento asintotico non è particolarmente utile (tecnicamente, se il dominio rimane fisso e la dimensione del campione aumenta, vale a dire riempimento asintotico. Considerare il caso in cui si campiona su un transetto da 0 a 1, prendendo un campione in 0,1 / 2, un altro campione in 1 / 2,3 / 4, un altro nell'intervallo 3/4, 7/8, ecc. Sarai in grado di dire molto sui valori a 1, ma non sarai in grado di dire molto altro.)

Per ottenere un risultato tipico in riempimento di asintotici, è necessario un progetto con proprietà come: per tutte le sottoregioni dell'area , per qualsiasi , la probabilità che si verifichi un campione nella sottoregione si avvicina a 1 come . Tale esempio è denso nel dominio. $\epsilon$ $\epsilon>0$ $n\rightarrow\infty$

A volte il riempimento non viene fornito in modo esplicito, viene fornito solo un disegno. Ad esempio, nel documento di Lahiri (Sull'inconsistenza degli stimatori basati su dati spaziali sotto gli asintotici di riempimento), descrive un disegno che è essenzialmente una griglia "jittered" (una casualità come livello piccolo, ma generalmente basata sul campionamento in iper rettangolare sottoregioni) densamente asintoticamente nel dominio fisso. Ottiene il risultato (comune per problemi di riempimento) che la maggior parte dei parametri del variogramma viene stimata in modo incoerente.

Lahiri, Lee e Cressie (Sulla distribuzione asintotica e l'efficienza asintotica degli stimatori meno quadrati dei parametri del variogramma spaziale, J.StatPlanInf 2002, vol. 103, pp. 65-85) analogamente considerano le reti di riempimento che diventano sistematicamente più distanziate, di nuovo, cedendo un campione denso.

(Il risultato generale per campioni densi è che dato che gli asintotici di riempimento sono in realtà una singola realizzazione di un processo spaziale, l'unico parametro del variogramma vero (super popolazione) che può essere costantemente stimato è la pendenza a zero, ma le previsioni sono sempre più buone. )

— AlaskaRon
fonte

Sai come provare questa affermazione? "per tutte le sottoregioni dell'area ϵ, per qualsiasi ϵ> 0, la probabilità che un campione si verifichi nella sottoregione si avvicina a 1 come n → ∞. Tale campione è denso nel dominio."

È quasi la definizione di "denso". Una sequenza densa ha un punto limite in tutte le posizioni. Quindi se scegli una posizione nella regione e qualsiasi disco di raggio attorno ad esso, poiché questo disco è una sottoregione, alla fine otterrai un'osservazione al suo interno. (NOTA: suppongo che il dominio sia un poligono ragionevole e non una stranezza topologica patologica ...) Si noti che molti processi producono sequenze dense, inclusi processi spaziali di Poisson (con intensità> 0 ovunque), sequenze ergodiche, semplici campioni casuali e griglie.

ϵ

$\epsilon$

— Alaska, l'

Conoscete documenti che affermano che gli ipercubi latini sono asintoticamente densi?

Cominciamo con una definizione del campionamento latino Hypercube, solo per rendere le cose perfettamente chiare e stabilire una notazione. Quindi possiamo definire gli asintotici di riempimento.

LHS

Ipercubo latino Il campionamento di una casella procede dividendo ogni dimensione in parti di uguale lunghezza , partizionandolo in celle $\mathcal{B}=[l_1,u_1)\times [l_2,u_2)\times \cdots [l_d,u_d) \subset \mathbb{R}^d$ $N \ge 1$ $\delta_i(N) = (u_i-l_i)/N$ $N^d$

c_{N} (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{d}) = [l_{1} + i_{1} δ_{1} (N), l_{1} + (i_{1} + 1) δ_{1} (N)) \times \dots [l_{d} + i_{d} δ_{d} (N), l_{d} + (i_{d} + 1) δ_{d} (N)),

$c_N(i_1,i_2,\ldots, i_d) = [l_1 + i_1\delta_1(N), l_1 + (i_1+1)\delta_1(N))\times \cdots [l_d + i_d\delta_d(N), l_d + (i_d+1)\delta_d(N)),$

dove per ciascun indice . $0 \le i_j \lt N$ $j$

Il campionamento si verifica selezionando prima tali celle uniformemente, indipendentemente e senza sostituzione dalla raccolta di tutte queste cellule in modo tale che $N$ $S=\{c_N(i_1^1, \ldots, i_d^1), \ldots, c_N(i_1^N, \ldots, i_d^N)\}$

{i_{j}^{1}, i_{j}^{2}, \dots, i_{j}^{N}} = {1, 2, \dots, N}, j = 1, 2, \dots, d .

$\{i_j^1, i_j^2, \ldots, i_j^N\}=\{1, 2, \ldots, N\},\ j=1, 2, \ldots, d.$

(Questa è la generalizzazione dimensionale del situazione dimensionale dove "c'è solo un campione in ogni riga e ogni colonna.") L' cellule in viene campionato ad una posizione scelta in modo uniforme ed indipendentemente tra tutti i punti nella cella, producendo un insieme di coppie ordinate di (posizione, osservazione) valori. $d$ $2$ $N$ $S$ $N$

X (N) = {(Z_{1}^{N}, Y_{1}^{N}), \dots, (Z_{N}^{N}, Y_{N}^{N})}

$X(N)=\{(Z_1^N,Y_1^N), \ldots, (Z_N^N,Y_N^N)\}$

Riempi gli asintotici

Presumibilmente, alcuni procedura viene applicata a ciascun latino Hypercube campione di dimensione di un determinato scatola , ottenendo una stima per ogni . Ciò si traduce in una sequenza $t_N$ $X(N)$ $N$ $\mathcal{B}$ $t_N(X(N))$ $N$

t_{1} (X (1)), t_{2} (X (2)), \dots, t_{N} (X (N)), \dots

$t_1(X(1)), t_2(X(2)), \ldots, t_N(X(N)), \ldots$

di variabili casuali. Gli asintotici di riempimento si riferiscono al comportamento di questa sequenza quando cresce senza limiti. $N$

— whuber
fonte