Metodo 0 : lo statistico pigro.
Nota che per abbiamo dove è la probabilità che una variabile casuale di Poisson abbia valore . Poiché il termine corrispondente a non influisce sul valore atteso, la nostra conoscenza del Poisson e la linearità delle aspettative ci informano immediatamente che
e
f ( y ) = ( 1 - π ) p y p y y y = 0 μ = ( 1 - π ) λ E Y 2 = ( 1 - π ) ( λ 2 + λ )y≠0f(y)=(1−π)pypyyy=0
μ=(1−π)λ
EY2=(1−π)(λ2+λ).
Una piccola algebra e l'identità produce il risultato.Var(Y)=EY2−μ2
Metodo 1 : un argomento probabilistico.
È spesso utile avere un semplice modello probabilistico per come nasce una distribuzione. Lascia che e siano variabili casuali indipendenti. Definisci
Quindi, è facile vedere che ha la distribuzione desiderata . Per verificare ciò, nota che per indipendenza. Allo stesso modo per .Y ∼ P o i ( λ ) X = Z ⋅ YZ∼Ber(1−π)Y∼Poi(λ)X f
X=Z⋅Y.
XfP(X=0)=P(Z=0)+P(Z=1,Y=0)=π+(1−π)e−λP(X=k)=P(Z=1,Y=k)k≠0
Da questo, il resto è facile, poiché dall'indipendenza di e ,
e,
ZY
μ=EX=EZY=(EZ)(EY)=(1−π)λ,
Var(X)=EX2−μ2=(EZ)(EY2)−μ2=(1−π)(λ2+λ)−μ2=μ+π1−πμ2.
Metodo 2 : calcolo diretto.
La media si ottiene facilmente con un leggero trucco per estrarre un e riscrivere i limiti della somma.
λ
μ=∑k=1∞(1−π)ke−λλkk!=(1−π)λe−λ∑j=0∞λjj!=(1−π)λ.
Un trucco simile funziona per il secondo momento:
da cui possiamo procedere con l'algebra come nel primo metodo.
EX2=(1−π)∑k=1∞k2e−λλkk!=(1−π)λe−λ∑j=0∞(j+1)λjj!=(1−π)(λ2+λ),
Addendum : questo dettaglio un paio di trucchi utilizzati nei calcoli sopra.
Ricordiamo innanzitutto che .∑∞k=0λkk!=eλ
In secondo luogo, nota che
dove la sostituzione stata effettuata nel penultimo passaggio.
∑k=0∞kλkk!=∑k=1∞kλkk!=∑k=1∞λk(k−1)!=∑k=1∞λ⋅λk−1(k−1)!=λ∑j=0∞λjj!=λeλ,
j=k−1
In generale, per il Poisson, è facile calcolare i momenti fattoriali poiché
quindi . Arriviamo a "saltare" esimo indice per l'inizio della somma nella prima uguaglianza poiché per qualsiasi , poiché esattamente un termine nel prodotto è zero.EX(n)=EX(X−1)(X−2)⋯(X−n+1)
eλEX(n)=∑k=n∞k(k−1)⋯(k−n+1)λkk!=∑k=n∞λnλk−n(k−n)!=λn∑j=0∞λjj!=λneλ,
EX(n)=λnn0≤k<nk(k−1)⋯(k−n+1)=0