In che modo sono correlate la funzione di errore e la funzione di distribuzione normale standard?


10

Se il PDF normale standard è

f(x)=12πex2/2

e il CDF è

F(x)=12πxex2/2dx,

come si trasforma in una funzione di errore di ?z



L'ho visto, ma inizia con ERF già definito.
TH4454,

Bene, c'è una definizione di ERF e una definizione del CDF normale. Le relazioni, derivabili da alcuni calcoli di routine, sono mostrate su come convertire tra di loro e su come convertire tra i loro inversi.
Mark L. Stone,

Spiacenti, non vedo molti dettagli. Ad esempio, il CDF è compreso tra -Inf e x. Quindi, come fa l'ERF a passare da 0 a x?
TH4454,

Conosci la tecnica di calcolo del cambiamento di variabile? In caso contrario, impara come farlo.
Mark L. Stone,

Risposte:


17

Poiché ciò si presenta spesso in alcuni sistemi (ad esempio, Mathematica insiste nell'esprimere il CDF normale in termini di ), è bene avere un thread come questo che documenti la relazione.Erf


Per definizione, la funzione di errore è

Erf(x)=2π0xet2dt.

Scrivere implica (perché non è negativo), da cui . Gli endpoint et diventano e . Per convertire l'integrale risultante in qualcosa che assomiglia a una funzione di distribuzione cumulativa (CDF), deve essere espresso in termini di integrali che hanno limiti inferiori di , quindi:t2=z2/2t=z/2tdt=dz/2t=0t=xz=0z=x2

Erf(x)=22π0x2ez2/2dz=2(12πx2ez2/2dz12π0ez2/2dz).

Questi integrali sulla dimensione destra sono entrambi valori del CDF della distribuzione normale standard,

Φ(x)=12πxez2/2dz.

In particolare,

Erf(x)=2(Φ(x2)Φ(0))=2(Φ(x2)12)=2Φ(x2)1.

Questo mostra come esprimere la funzione di errore in termini di CDF normale. La manipolazione algebrica di ciò fornisce facilmente il CDF normale in termini di funzione di errore:

Φ(x)=1+Erf(x/2)2.

Questa relazione (per numeri reali, comunque) è esposta in grafici delle due funzioni. I grafici sono curve identiche. Le coordinate della funzione di errore a sinistra vengono convertite nelle coordinate di a destra moltiplicando le coordinate per , aggiungendo alle coordinate , quindi dividendo le coordinate per , riflettendo il relazioneΦx21yy2

Φ(x2)=Erf(x)+12

in cui la notazione mostra esplicitamente queste tre operazioni di moltiplicazione, addizione e divisione.

figura


Penso che è il modo corretto di metterli in relazione, considerando la media e la deviazione standard.
Φ(x,μ,σ)=12(1+Erf(xμσ2))
Foad,
Utilizzando il nostro sito, riconosci di aver letto e compreso le nostre Informativa sui cookie e Informativa sulla privacy.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.