Se il PDF normale standard è
e il CDF è
come si trasforma in una funzione di errore di ?
Se il PDF normale standard è
e il CDF è
come si trasforma in una funzione di errore di ?
Risposte:
Poiché ciò si presenta spesso in alcuni sistemi (ad esempio, Mathematica insiste nell'esprimere il CDF normale in termini di ), è bene avere un thread come questo che documenti la relazione.
Per definizione, la funzione di errore è
Scrivere implica (perché non è negativo), da cui . Gli endpoint et diventano e . Per convertire l'integrale risultante in qualcosa che assomiglia a una funzione di distribuzione cumulativa (CDF), deve essere espresso in termini di integrali che hanno limiti inferiori di , quindi:
Questi integrali sulla dimensione destra sono entrambi valori del CDF della distribuzione normale standard,
In particolare,
Questo mostra come esprimere la funzione di errore in termini di CDF normale. La manipolazione algebrica di ciò fornisce facilmente il CDF normale in termini di funzione di errore:
Questa relazione (per numeri reali, comunque) è esposta in grafici delle due funzioni. I grafici sono curve identiche. Le coordinate della funzione di errore a sinistra vengono convertite nelle coordinate di a destra moltiplicando le coordinate per , aggiungendo alle coordinate , quindi dividendo le coordinate per , riflettendo il relazione
in cui la notazione mostra esplicitamente queste tre operazioni di moltiplicazione, addizione e divisione.