In che modo sono correlate la funzione di errore e la funzione di distribuzione normale standard?

Se il PDF normale standard è

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- x^{2} / 2}

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$

e il CDF è

F (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- x^{2} / 2} d x,

$F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-x^2/2}\mathrm{d}x\,,$

come si trasforma in una funzione di errore di ? $z$

normal-distribution cdf

— TH4454
fonte

johndcook.com/erf_and_normal_cdf.pdf

— Mark L. Stone

L'ho visto, ma inizia con ERF già definito.

— TH4454,

Bene, c'è una definizione di ERF e una definizione del CDF normale. Le relazioni, derivabili da alcuni calcoli di routine, sono mostrate su come convertire tra di loro e su come convertire tra i loro inversi.

— Mark L. Stone,

Spiacenti, non vedo molti dettagli. Ad esempio, il CDF è compreso tra -Inf e x. Quindi, come fa l'ERF a passare da 0 a x?

— TH4454,

Conosci la tecnica di calcolo del cambiamento di variabile? In caso contrario, impara come farlo.

— Mark L. Stone,

Poiché ciò si presenta spesso in alcuni sistemi (ad esempio, Mathematica insiste nell'esprimere il CDF normale in termini di ), è bene avere un thread come questo che documenti la relazione. $\text{Erf}$

Per definizione, la funzione di errore è

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} \mathrm{d}t.$

Scrivere implica (perché non è negativo), da cui . Gli endpoint et diventano e . Per convertire l'integrale risultante in qualcosa che assomiglia a una funzione di distribuzione cumulativa (CDF), deve essere espresso in termini di integrali che hanno limiti inferiori di , quindi: $t^2 = z^2/2$ $t = z / \sqrt{2}$ $t$ $\mathrm{d}t = \mathrm{d}z/\sqrt{2}$ $t=0$ $t=x$ $z=0$ $z=x\sqrt{2}$ $-\infty$

Erf (x) = \frac{2}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z = 2 (\frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x \sqrt{2}} e^{- z^{2} / 2} d z - \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{0} e^{- z^{2} / 2} d z) .

$\text{Erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^{x\sqrt{2}} e^{-z^2/2}\mathrm{d}z = 2\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x\sqrt{2}}e^{-z^2/2}\mathrm{d}z - \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^0 e^{-z^2/2}\mathrm{d}z\right).$

Questi integrali sulla dimensione destra sono entrambi valori del CDF della distribuzione normale standard,

Φ (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{x} e^{- z^{2} / 2} d z .

$\Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^x e^{-z^2/2} \mathrm{d}z.$

In particolare,

Erf (x) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - Φ (0)) = 2 (Φ (x \sqrt{2}) - \frac{1}{2}) = 2 Φ (x \sqrt{2}) - 1.

$\text{Erf}(x) = 2(\Phi(x\sqrt{2}) - \Phi(0)) = 2\left(\Phi(x\sqrt{2}) - \frac{1}{2}\right) = 2\Phi(x\sqrt{2}) - 1.$

Questo mostra come esprimere la funzione di errore in termini di CDF normale. La manipolazione algebrica di ciò fornisce facilmente il CDF normale in termini di funzione di errore:

Φ (x) = \frac{1 + Erf (x / \sqrt{2})}{2} .

$\Phi(x) = \frac{1 + \text{Erf}(x/\sqrt{2})}{2}.$

Questa relazione (per numeri reali, comunque) è esposta in grafici delle due funzioni. I grafici sono curve identiche. Le coordinate della funzione di errore a sinistra vengono convertite nelle coordinate di a destra moltiplicando le coordinate per , aggiungendo alle coordinate , quindi dividendo le coordinate per , riflettendo il relazione $\Phi$ $x$ $\sqrt{2}$ $1$ $y$ $y$ $2$

Φ (x \sqrt{2}) = \frac{Erf (x) + 1}{2}

$\Phi(x\sqrt{2}) = \frac{\text{Erf}(x) + 1}{2}$

in cui la notazione mostra esplicitamente queste tre operazioni di moltiplicazione, addizione e divisione.

— whuber
fonte

Penso che è il modo corretto di metterli in relazione, considerando la media e la deviazione standard.

Φ (x, μ, σ) = \frac{1}{2} (1 + Erf (\frac{x - μ}{σ \sqrt{2}}))

$\Phi(x,\mu,\sigma)=\frac{1}{2}\left( 1+\text{Erf} \left( \frac{x-\mu}{\sigma\sqrt{2}} \right)\right)$

— Foad,