La normalità articolare è una condizione necessaria affinché la somma delle normali variabili casuali sia normale?

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Nei commenti che seguono questa mia risposta a una domanda correlata, gli utenti ssdecontrol e Glen_b hanno chiesto se la normalità congiunta di e è necessaria per affermare la normalità della somma ? Che la normalità comune sia sufficiente è, ovviamente, ben noto. Questa domanda supplementare non è stata affrontata lì, e forse vale la pena prendere in considerazione a sé stante. $X$ $Y$ $X+Y$

Poiché la normalità congiunta implica una normalità marginale, chiedo

Esistono normali variabili casuali e tali che è una normale variabile casuale, ma e non sono variabili casuali normali congiuntamente? $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

Se e non sono tenuti ad avere distribuzioni normali, è facile trovare tali variabili casuali normali. Un esempio può essere trovato nella mia risposta precedente (il link è riportato sopra). Credo che la risposta alla domanda evidenziata sopra sia Sì, e ho pubblicato (quello che penso sia) un esempio come risposta a questa domanda. $X$ $Y$

— Dilip Sarwate
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Come vuoi gestire le distribuzioni degenerate? Ad esempio, se è una normale standard e , la distribuzione congiunta di e è una distribuzione normale degenerata e è una normale standard.

X

$X$

Y = - 2 X

$Y=-2X$

X

$X$

Y

$Y$

X + Y

$X+Y$

— Brian Borchers,

@BrianBorchers e sono variabili casuali normali anche se la distribuzione è degenerata come dici tu. La definizione standard di normalità articolare è che e sono congiuntamente normali se è normale per tutte le scelte di . Qui, è un caso degenerato che viene comunque chiamato normale variabile casuale come cortesia.

X

$X$

Y = - 2 X

$Y = -2X$

X

$X$

Y

$Y$

a X + b Y

$aX+bY$

(a, b)

$(a,b)$

(a, b) = (0, 0)

$(a,b) = (0,0)$

— Dilip Sarwate,

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Sia sia . $U,V$ $N(0,1)$

Ora trasforma come segue: $(U,V) \to (X,Y)$

$U>0,V>0$ $X=\max(U,V)$ $Y = \min(U,V)$

Per gli altri quadranti, ruotare questa mappatura sull'origine.

La distribuzione bivariata risultante è simile (vista dall'alto):

$\hspace{1.5 cm}$

- il viola rappresenta le regioni con probabilità raddoppiata e le regioni bianche sono quelle senza probabilità. I cerchi neri sono contorni di densità costante (ovunque sul cerchio per , ma all'interno di ciascuna regione colorata per ). $(U,V)$ $(X,Y)$

Per simmetria sia che sono normali (guardando in basso lungo una linea verticale o lungo una linea orizzontale c'è un punto viola per ogni bianco che possiamo considerare come capovolto attraverso l'asse che attraversa la linea orizzontale o verticale) $X$ $Y$
ma sono chiaramente normali bivariati, e $(X,Y)$
$X+Y = U+V$ che è (equivalentemente, guarda lungo le linee della costante e vedi che abbiamo una simmetria simile a quella che abbiamo discusso in 1., ma questa volta riguardo a Linea ) $\sim N(0,2)$ $X+Y$ $Y=X$

— Glen_b -Restate Monica
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+1 e a Accetta; questa costruzione è molto più bella di quella nella mia risposta!

— Dilip Sarwate, il

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Considerare le variabili casuali continuativamente congiunte con funzione di densità articolare dove indica la funzione di densità normale standard. $U, V, W$

\begin{aligned} (1) & f_{U, V, W} (u, v, w) = {\begin{cases} 2 ϕ (u) ϕ (v) ϕ (w) & if u \geq 0, v \geq 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v < 0, w \geq 0, \\ or if u < 0, v \geq 0, w < 0, \\ or if u \geq 0, v < 0, w < 0, \\ 0 & otherwise \end{cases} \end{aligned}

$\begin{align} f_{U,V,W}(u,v,w) = \begin{cases} 2\phi(u)\phi(v)\phi(w) & ~~~~\text{if}~ u \geq 0, v\geq 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v < 0, w \geq 0,\\ & \text{or if}~ u < 0, v\geq 0, w < 0,\\ & \text{or if}~ u \geq 0, v< 0, w < 0,\\ & \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\tag{1} \end{align}$

ϕ (\cdot)

$\phi(\cdot)$

È chiaro che e sono variabili casuali dipendenti . E 'anche chiaro che essi sono non congiuntamente variabili aleatorie normali. Tuttavia, tutte e tre le coppie sono variabili casuali indipendenti a coppie : in realtà, variabili casuali normali standard indipendenti (e quindi variabili casuali normali a coppie). In breve, sono un esempio di variabili casuali normali indipendenti dalla coppia ma non reciprocamente indipendenti. Vedi questa mia risposta per maggiori dettagli. $U, V$ $W$ $(U,V), (U,W), (V,W)$ $U,V,W$

Si noti che l'indipendenza a coppie ci dà che e sono tutte variabili casuali normali a media zero con varianza . Ora, definiamo e notiamo che è anche una variabile casuale normale a media zero con varianza . Inoltre, , e quindi e sono variabili casuali dipendenti e correlate. $U+V, U+W$ $V-W$ $2$

\begin{matrix} (2) & X = U + W, Y = V - W \end{matrix}

$X = U+W, ~Y = V-W \tag{2}$

X + Y = U + V

$X+Y = U+V$

2

$2$

cov (X, Y) = - var (W) = - 1

$\operatorname{cov}(X,Y) = -\operatorname{var}(W) = -1$

X

$X$

Y

$Y$

$X$ e sono variabili casuali normali (correlate) che non sono congiuntamente normali ma hanno la proprietà che la loro somma è una variabile casuale normale. $Y$ $X+Y$

In altre parole, la normalità congiunta è una sufficiente condizione per affermare la normalità di una somma di variabili casuali normali, ma è non è una condizione necessaria.

Prova che e non sono congiuntamente normali $X$ $Y$
Poiché la trasformazione è lineare, è facile ottenere che . Pertanto abbiamo che Ma ha la proprietà che il suo valore è diverso da zero solo quando esattamente uno o tutti e tre i suoi argomenti non sono negativi. Supponiamo ora che . Quindi, ha valore per $(U,V,W) \to (U+W, V-W, W) = (X,Y,W)$ $f_{X,Y,W}(x, y, w) = f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y, W} (x, y, w) d w = \int_{- \infty}^{\infty} f_{U, V, W} (x - w, y + w, w) d w

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^\infty f_{X,Y,W}(x,y,w)\,\mathrm dw = \int_{-\infty}^\infty f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)\,\mathrm dw$

f_{U, V, W}

$f_{U,V, W}$

x, y > 0

$x, y > 0$

f_{U, V, W} (x - w, y + w, w)

$f_{U,V,W}(x-w,y+w,w)$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

w \in (- \infty, - y) \cup (0, x)

$w \in (-\infty,-y) \cup (0,x)$ ed è altrimenti. Quindi, per , Ora, e quindi espandendo e facendo un po 'di riorganizzazione degli integrandi in , possiamo scrivere dove è un normale casuale variabile con media

0

$0$

x, y > 0

$x, y > 0$

\begin{matrix} (3) & f_{X, Y} (x, y) = \int_{- \infty}^{- y} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w + \int_{0}^{x} 2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w) d w . \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = \int_{-\infty}^{-y} 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw + \int_0^x 2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)\,\mathrm dw.\tag{3}$

\begin{aligned} (x - w)^{2} + (y + w)^{2} + w^{2} & = 3 w^{2} - 2 w (x - y) + x^{2} + y^{2} \\ = \frac{w^{2} - 2 w (\frac{x - y}{3}) + {(\frac{x - y}{3})}^{2}}{1 / 3} - \frac{1}{3} (x - y)^{2} + x^{2} + y^{2} \end{aligned}

$\begin{align} (x-w)^2 + (y+w)^2 + w^2 &= 3w^2 -2w(x-y) + x^2 + y^2\\ &= \frac{w^2 - 2w\left(\frac{x-y}{3}\right) + \left(\frac{x-y}{3}\right)^2}{1/3} -\frac 13(x-y)^2 + x^2 + y^2 \end{align}$

2 ϕ (x - w) ϕ (y + w) ϕ (w)

$2\phi(x-w)\phi(y+w)\phi(w)$

(3)

$(3)$

\begin{matrix} (4) & f_{X, Y} (x, y) = g (x, y) [P {T \leq - y} + P {0 < T \leq x}] \end{matrix}

$f_{X,Y}(x,y) = g(x,y)\big[P\{T \leq -y\} + P\{0 < T \leq x\}\big] \tag{4}$

T

$T$

\frac{x - y}{3}

$\frac{x-y}{3}$ e varianza . Entrambi i termini all'interno delle parentesi quadre coinvolgono normale standard CDF con argomenti che sono (differenti) funzioni sia ed . Pertanto, non è una densità normale bivariata anche se sia che sono variabili casuali normali e la loro somma è una variabile casuale normale.

\frac{1}{3}

$\frac 13$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

x

$x$

y

$y$

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$

X

$X$

Y

$Y$

Commento: la normalità congiunta di e sufficiente per la normalità di ma implica anche molto di più: è normale per tutte le scelte di . Qui, abbiamo bisogno di per essere normali solo per tre scelte di , vale a dire, cui i primi due impongono il spesso ignorato condizione (vedi ad esempio la risposta di ) che le densità (marginali) di e devono essere densità normali, e il terzo dice che la somma deve anche avere una densità normale. Così, abbiamo can $X$ $Y$ $X+Y$ $aX+bY$ $(a,b)$ $aX+bY$ $(a,b)$ $(1,0), (0,1), (1,1)$ $Y.H.$ $X$ $Y$ hanno variabili casuali normali che non sono congiuntamente normali ma la cui somma è normale perché non ci interessa cosa succede per altre scelte di . $(a,b)$

— Dilip Sarwate
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