Considerare le variabili casuali continuativamente congiunte con funzione di densità articolare
dove indica la funzione di densità normale standard.f U , V , W ( u , v , w ) = { 2 ϕ ( u ) ϕ ( v ) ϕ ( w ) se u ≥ 0 , v ≥ 0 , w ≥ 0 ,U,V,W ϕ(⋅)
fU,V,W(u,v,w)=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2ϕ(u)ϕ(v)ϕ(w)0 if u≥0,v≥0,w≥0,or if u<0,v<0,w≥0,or if u<0,v≥0,w<0,or if u≥0,v<0,w<0,otherwise(1)
ϕ(⋅)
È chiaro che e sono
variabili casuali dipendenti . E 'anche chiaro che essi sono non
congiuntamente variabili aleatorie normali. Tuttavia, tutte e tre le coppie
sono variabili casuali indipendenti a coppie : in realtà, variabili casuali normali standard indipendenti (e quindi variabili casuali normali a coppie). In breve,
sono un esempio di variabili casuali normali indipendenti dalla coppia ma non reciprocamente indipendenti. Vedi questa mia risposta
per maggiori dettagli.W ( U , V ) , ( U , W ) , ( V , W ) U , V , WU,VW(U,V),(U,W),(V,W)U,V,W
Si noti che l'indipendenza a coppie ci dà che
e sono tutte variabili casuali normali a media zero con varianza . Ora, definiamo
e notiamo che
è anche una variabile casuale normale a media zero con varianza . Inoltre, , e quindi e sono variabili casuali dipendenti e correlate.U+V,U+WV−W2
X=U+W, Y=V−W(2)
X+Y=U+V2cov(X,Y)=−var(W)=−1XY
X e sono variabili casuali normali (correlate) che non sono congiuntamente normali ma hanno la proprietà che la loro somma è una variabile casuale normale.YX+Y
In altre parole, la normalità congiunta è una sufficiente condizione per affermare la normalità di una somma di variabili casuali normali, ma è non è una condizione necessaria.
Prova che e non sono congiuntamente normaliXY
Poiché la trasformazione è lineare, è facile ottenere che
. Pertanto abbiamo che
Ma ha la proprietà che il suo valore è diverso da zero solo quando esattamente uno o tutti e tre i suoi argomenti non sono negativi. Supponiamo ora che . Quindi, ha valore per
(U,V,W)→(U+W,V−W,W)=(X,Y,W)fX,Y,W(x,y,w)=fU,V,W(x−w,y+w,w)
fX,Y(x,y)=∫∞−∞fX,Y,W(x,y,w)dw=∫∞−∞fU,V,W(x−w,y+w,w)dw
fU,V,Wx,y>0fU,V,W(x−w,y+w,w)2ϕ(x−w)ϕ(y+w)ϕ(w)w∈(−∞,−y)∪(0,x)ed è altrimenti. Quindi, per ,
Ora,
e quindi espandendo e facendo un po 'di riorganizzazione degli integrandi in , possiamo scrivere
dove è un normale casuale variabile con media
0x,y>0fX,Y(x,y)=∫−y−∞2ϕ(x−w)ϕ(y+w)ϕ(w)dw+∫x02ϕ(x−w)ϕ(y+w)ϕ(w)dw.(3)
(x−w)2+(y+w)2+w2=3w2−2w(x−y)+x2+y2=w2−2w(x−y3)+(x−y3)21/3−13(x−y)2+x2+y2
2ϕ(x−w)ϕ(y+w)ϕ(w)(3)fX,Y(x,y)=g(x,y)[P{T≤−y}+P{0<T≤x}](4)
Tx−y3
e varianza . Entrambi i termini all'interno delle parentesi quadre coinvolgono normale standard CDF con argomenti che sono (differenti) funzioni sia ed . Pertanto,
non è
una densità normale bivariata anche se sia che
sono variabili casuali normali e la loro somma è una variabile casuale normale.
13Φ(⋅)xyfX,YXY
Commento: la normalità congiunta di e sufficiente per la normalità di ma implica anche molto di più: è normale per
tutte le scelte di . Qui, abbiamo bisogno di per essere normali solo per tre scelte di , vale a dire,
cui i primi due impongono il spesso ignorato condizione (vedi ad esempio la risposta di ) che le densità (marginali) di e devono essere densità normali, e il terzo dice che la somma deve anche avere una densità normale. Così, abbiamo canY X + Y a X + b Y ( a , b )XYX+YaX+bY(a,b)( un , b ) ( 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) , ( 1 , 1 ) Y . H . X Y ( a , b )aX+bY(a,b) (1,0),(0,1),(1,1)Y.H.XYhanno variabili casuali normali che non sono
congiuntamente normali ma la cui somma è normale perché non ci interessa cosa succede per altre scelte di .(a,b)