Distribuzione di camper uniforme continua con limite superiore che è un altro camper uniforme uniforme

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Se e , allora posso dire che $X \sim U(a, b)$ $Y \sim U(a, X)$ $Y \sim U(a, b)?$

Sto parlando di distribuzioni uniformi continue con limiti . Una prova (o disproof!) Sarà apprezzata. $[a, b]$

uniform distributions

— Blain Waan
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No, non lo è. In R: hist(runif(1e4,0,runif(1e4)))mostra chiaramente che

Y

$Y$ non è distribuito uniformemente. (Sto pubblicando questo come commento poiché hai chiesto una prova, che non dovrebbe essere difficile, ma ad essere onesti, dato l'istogramma distorto, non credo sia necessaria una prova ...)

— Stephan Kolassa

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Un cambio di posizione e scala rende

a = 0, b = 1

$a=0,b=1$ , nel qual caso per qualsiasi numero

y \in [0, 1]

$y\in[0,1]$ ,

Pr (Y \leq y) = y / X

$\Pr(Y\le y)=y/X$ fornito

X \geq y

$X\ge y$ (ed è

0

$0$ altrimenti). Usa

Pr (X \geq y) = 1 - y

$\Pr(X\ge y)=1-y$ per calcolare quella probabilità condizionale.

— whuber

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Possiamo derivare la distribuzione di $Y$ analiticamente. Innanzitutto, nota che è $Y|X$ che segue la distribuzione uniforme, vale a dire

f (y | X) = U (un', X)

$f\left(y|x \right) = U(a, X)$

e così

\begin{aligned} f (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f (y | X) f (X) d X & = \int_{y}^{B} \frac{1}{X - un'} \frac{1}{B - un'} d X \\ = \frac{1}{B - un'} \int_{y}^{B} \frac{1}{X - un'} d X \\ = \frac{1}{B - un'} [\log (B - un') - \log (y - un')], un' < y < B \end{aligned}

$\begin{align} f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y|x) f(x) dx & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} \frac{1}{b-a} dx \\ & = \frac{1}{b-a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \log(b-a)-\log(y-a) \right] ,\quad a<y<b \end{align}$

che non è una distribuzione uniforme a causa di . Ecco come appare la densità simulata per una distribuzione , sovrapposta a ciò che abbiamo appena calcolato. $\log(y-a)$ $U(0,1)$

y <- runif(1000, 0, runif(1000,0,1))
hist(y, prob =T)
curve( -log(x), add = TRUE, lwd = 2)

— Jöhnk
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Sicuramente no.

Per semplicità, definiamo . $a = 0, b = 1$

Poi

$P(Y > 0.5) = P(Y > 0.5 | X > 0.5)P(X > 0.5)$

$< P(X< 0.5) = 0.5$

A causa della disuguaglianza rigorosa, non è possibile che Unif (0,1). $Y \sim$

— Cliff AB
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