Intervalli di sovrapposizione casuali

Come posso trovare un'espressione analitica nel seguente problema? $D(n,l,L)$

Lascio cadere casualmente "barre" di lunghezza in un intervallo . Le "barre" possono sovrapporsi. Vorrei trovare la lunghezza totale media dell'intervallo occupata da almeno una "barra". $n$ $l$ $[0,L]$ $D$ $[0,L]$

Nel limite di "bassa densità", la sovrapposizione dovrebbe essere trascurabile e . Nel limite "ad alta densità", si avvicina . Ma come posso ottenere un'espressione generale per ? Questo dovrebbe essere un problema statistico abbastanza fondamentale, ma non sono riuscito a trovare una soluzione esplicativa nei forum. $D = n\cdot l$ $D$ $L$ $D$

Qualsiasi aiuto sarebbe molto apprezzato.

Si noti che le barre vengono lasciate cadere casualmente (statisticamente indipendenti) l'una dall'altra.

probability distributions

— Daniel
fonte

È una domanda di un corso o di un libro di testo? In tal caso, aggiungi il [self-study]tag e leggi la sua wiki .

— gung - Ripristina Monica

No non lo è. è possibile calcolare facilmente la lunghezza media occupata con un computer mediante campionamento, ma il problema sembra fondamentale per la risoluzione di un approccio teorico. Dato che i miei tentativi fallirono, ero solo curioso di sapere come farlo.

— Daniel,

Qual è il tuo modello per come le barre vengono "rilasciate" su [0, L]? È possibile che sporgano sui bordi? Modifica: il tuo disegno e la risposta suggeriscono che lo sia.

— Adrian,

Trova probabilità

che un dato

NON è incluso - che è un incrocio

eventi iid. Quindi la lunghezza prevista di una porzione scoperta è semplicemente

p (x) d x

$p(x)dx$

d x

$dx$

n

$n$

\int_{0}^{L} p (x) d x

$\int_0^L p(x)dx$

— AS

| ---------------- ---------------- || | -------------- --------------------- | ---------------- || ---------- ------ |

$x_0 - l/2\ \ \ \ \ x_0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0 + l/2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x_0+L - l/2 \ \ \ \ x_0+L \ \ \ \ x_0 + L + l/2$

La probabilità che un punto in sia occupato da una singola barra rilasciata è $[x_0,x_0 + L]$

$x \in [x_0, x_0 + l/2): \ P_{o} = \frac{1}{L}(x-x_0+l/2)$

$x \in [x_0 + l/2, x_0 + L - l/2]: \ P_{o} = \frac{l}{L}$

$x \in (x_0 + L - l/2, x_0 + L]: \ P_{o} = \frac{1}{L}(-x+x_0+l/2+L)$

$P_{e} = 1 - P_o$ $n$ $P_e^{n}$

$P_{o,n} = 1 - (1-P_o)^n = 1- (1-\frac{nP_o}{n})^n \approx 1 - e^{-nP_o}$

$n$

$[x_0,x_0 + L]$ $n$

$\langle D \rangle = L\langle P_{o,n} \rangle = \int_{x_0}^{x_0+L} P_{o,n}dx$

— Daniel
fonte

P_{0}

$P_0$

l = L = 1

$l=L=1$

[- l, L] = [- 1, 1]

$[-l, L]=[-1,1]$

0

$0$

1 / 2

$1/2$

l / L = 1

$l/L=1$

Grazie per i suggerimenti. Hai ragione, avrei dovuto scrivere che dovrebbe esserci una correlazione zero tra i "disegni" casuali. E hai anche ragione, la soluzione sopra è valida solo quando le barre non possono sporgere. Come possiamo risolvere il problema quando permettiamo loro di sporgere?

— Daniel,

x, y \in [0, L]

$x,y\in [0,L]$

x

$x$

y

$y$

| x - y | > l

$|x-y|\gt l$

Ho considerato gli effetti al contorno ora. Ho capito che l'occupazione di due diversi punti nell'intervallo è correlata, ma non vedo come influenzerebbe la soluzione.

— Daniel,