Si scopre che un articolo di Econometrica di Kenneth Small e Harvey Rosen lo ha mostrato nel 1981, ma in un contesto molto specializzato, quindi il risultato richiede molti scavi, per non parlare della formazione in economia. Ho deciso di dimostrarlo in un modo che trovo più accessibile.
Prova : Sia il numero di alternative. A seconda dei valori del vettore , la funzione assume valori diversi. Innanzitutto, concentrati sui valori di tale che . Cioè, integreremo sul set :ε = { ε 1 , . . . , ϵ J } max i ( δ i + ϵ i ) ϵJϵ={ϵ1,...,ϵJ}maxi(δi+ϵi)ϵδ 1 + ϵ 1 M 1 ≡ { ϵ : δ 1 + ϵ 1 > δ j + ϵ jmaxi(δi+ϵi)=δ1+ϵ1δ1+ϵ1M1≡{ϵ:δ1+ϵ1>δj+ϵj,j≠1}
Eϵ∈M1[maxi(δi+ϵi)]=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)[∫δ1+ϵ1−δ2−∞...∫δ1+ϵ1−δJ−∞f(ϵ2)...f(ϵJ)dϵ2...dϵJ]dϵ1=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)(∫δ1+ϵ1−δ2−∞f(ϵ2)dϵ2)...(∫δ1+ϵ1−δJ−∞f(ϵJ)dϵJ)dϵ1=∫∞−∞(δ1+ϵ1)f(ϵ1)F(δ1+ϵ1−δ2)...F(δ1+ϵ1−δJ)dϵ1
Il termine di cui sopra è il primo di tali termini in . In particolare,E [ max i ( δ i + ϵ i ) ]JE[maxi(δi+ϵi)]
E[maxi(δi+ϵi)]=∑iEϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)].
Ora applichiamo la forma funzionale della distribuzione di Gumbel. Questo da
===Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵie−eμ−ϵi∏j≠ie−eμ−ϵi+δj−δidϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵi∏je−eμ−ϵi+δj−δidϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵiexp{∑j−eμ−ϵi+δj−δi}dϵi∫∞−∞(δi+ϵi)eμ−ϵiexp{−eμ−ϵi∑jeδj−δi}dϵi
dove il secondo passo viene dalla raccolta di uno dei termini esponenziali nel prodotto, insieme al fatto che se .i = jδj−δi=0i=j
Ora definiamo e facciamo la sostituzione , in modo che e . Nota che siccome avvicina all'infinito, avvicina a 0 e siccome avvicina all'infinito negativo, avvicina all'infinito. x = D iDi≡∑jeδj−δi d x = - D i e μ - ϵ i d ϵ i ⇒ - d xx=Dieμ−ϵiϵi=μ-log(xdx=−Dieμ−ϵidϵi⇒−dxDi=eμ−ϵidϵiϵixϵixϵi=μ−log(xDi)ϵixϵix
==Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=∫0∞(δi+μ−log[xDi])(−1Di)exp{−x}dx1Di∫∞0(δi+μ−log[xDi])e−xdxδi+μDi∫∞0e−xdx−1Di∫∞0log[x]e−xdx+log[Di]Di∫∞0e−xdx
La funzione gamma è definita come . Per i valori di che sono numeri interi positivi, questo equivale a, quindi . Inoltre, è noto che la costante di Eulero-Mascheroni, soddisfaΓ(t)=∫∞0xt−1e−xdxtΓ(t)=(t−1)!Γ(1)=0!=1γ≈0.57722
γ=−∫∞0log[x]e−xdx.
L'applicazione di questi fatti dà
Eϵ∈Mi[maxi(δi+ϵi)]=δi+μ+γ+log[Di]Di
Quindi sommiamo per ottenerei
E[maxi(δi+ϵi)]=∑iδi+μ+γ+log[Di]Di
Ricordiamo che . Si noti che le probabilità di scelta del logit familiare sono inversioni di , o in altre parole . Si noti inoltre che . Poi abbiamoDi=∑jeδj−δi=∑jeδjeδiPi=eδi∑jδjDiPi=1/Di∑iPi=1
E[maxi(δi+ϵi)]======∑iPi(δi+μ+γ+log[Di])(μ+γ)∑iPi+∑iPiδi+∑iPilog[Di]μ+γ+∑iPiδi+∑iPilog[∑jeδjeδi]μ+γ+∑iPiδi+∑iPilog[∑jeδj]−∑iPilog[eδi]μ+γ+∑iPiδi+log[∑jeδj]∑iPi−∑iPiδiμ+γ+log[∑jexp{δj}].
QED