Aspettativa del massimo delle variabili Gumbel iid

Continuo a leggere su riviste economiche di un particolare risultato utilizzato in modelli di utilità casuali. Una versione del risultato è: if Gumbel ( , quindi: $\epsilon_i \sim_{iid},$ $\mu, 1), \forall i$

E [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = μ + γ + \ln (\sum_{i} \exp {δ_{i}}),

$E[\max_i(\delta_i + \epsilon_i)] = \mu + \gamma + \ln\left(\sum_i \exp\left\{\delta_i \right\} \right),$

dove $\gamma \approx 0.52277$ è la costante di Euler-Mascheroni. Ho verificato che questo ha senso usando R, e lo fa. Il CDF per la distribuzione di Gumbel $(\mu, 1)$ è:

G (ϵ_{i}) = \exp (- \exp (- (ϵ_{i} - μ)))

$G(\epsilon_i) = \exp(-\exp(-(\epsilon_i - \mu)))$

Sto cercando di trovare una prova di questo e non ho avuto successo. Ho provato a provarlo da solo, ma non riesco a superare un passo particolare.

Qualcuno può indicarmi una prova di questo? In caso contrario, forse posso pubblicare la mia prova tentata fino a quando mi blocco.

expected-value gumbel

— Jason
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— Adrian

Apprezzo il lavoro esposto nella tua risposta: grazie per quel contributo. Lo scopo di questo post è di fornire una dimostrazione più semplice. Il valore della semplicità è la rivelazione: possiamo facilmente ottenere l'intera distribuzione del massimo, non solo la sua aspettativa.

Ignora assorbendolo nel e supponendo che abbiano tutti una distribuzione Gumbel . (Cioè, sostituisci ogni con e cambia in .) Questo non cambia la variabile casuale $\mu$ $\delta_i$ $\epsilon_i$ $(0,1)$ $\epsilon_i$ $\epsilon_i-\mu$ $\delta_i$ $\delta_i+\mu$

X = max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i}) = max_{i} ((δ_{i} + μ) + (ϵ_{i} - μ)) .

$X = \max_{i}(\delta_i + \epsilon_i) = \max_i((\delta_i+\mu) + (\epsilon_i-\mu)).$

L'indipendenza di implica per tutta la reale che è il prodotto delle singole possibilità . Prendere i registri e applicare le proprietà di base dei rendimenti esponenziali $\epsilon_i$ $x$ $\Pr(X\le x)$ $\Pr(\delta_i+\epsilon_i\le x)$

\begin{aligned} \log Pr (X \leq x) & = \log \prod_{i} Pr (δ_{i} + ϵ_{i} \leq x) = \sum_{i} \log Pr (ϵ_{i} \leq x - δ_{i}) \\ = - \sum_{i} e^{δ_{i}} e^{- x} = - \exp (- x + \log \sum_{i} e^{δ_{i}}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \log \Pr(X\le x) &= \log\prod_{i}\Pr(\delta_i + \epsilon_i \le x) = \sum_i \log\Pr(\epsilon_i \le x - \delta_i)\\ &= -\sum_ie^{\delta_i}\, e^{-x} = -\exp\left(-x + \log\sum_i e^{\delta_i}\right). }$

Questo è il logaritmo del CDF di una distribuzione Gumbel con parametro di posizione Questo è, $\lambda=\log\sum_i e^{\delta_i}.$

$X$ ha una distribuzione Gumbel . $\left(\log\sum_i e^{\delta_i}, 1\right)$

Sono molte più informazioni di quelle richieste. La media di tale distribuzione è che comporta $\gamma+\lambda,$

E [X] = γ + \log \sum_{i} e^{δ_{i}},

$\mathbb{E}[X] = \gamma + \log\sum_i e^{\delta_i},$

QED.

— whuber
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Si scopre che un articolo di Econometrica di Kenneth Small e Harvey Rosen lo ha mostrato nel 1981, ma in un contesto molto specializzato, quindi il risultato richiede molti scavi, per non parlare della formazione in economia. Ho deciso di dimostrarlo in un modo che trovo più accessibile.

Prova : Sia il numero di alternative. A seconda dei valori del vettore , la funzione assume valori diversi. Innanzitutto, concentrati sui valori di tale che . Cioè, integreremo sul set : $J$ $\boldsymbol{\epsilon} = \{\epsilon_1, ..., \epsilon_J\}$ $\max_i(\delta_i + \epsilon_i)$ $\boldsymbol{\epsilon}$ $\max_i (\delta_i + \epsilon_i) = \delta_1 + \epsilon_1$ $\delta_1 + \epsilon_1$ $M_1 \equiv \{\boldsymbol\epsilon : \delta_1 + \epsilon_1 > \delta_j + \epsilon_j, j \neq 1\}$

\begin{aligned} E_{ϵ \in M_{1}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \\ \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{1} + ϵ_{1}) f (ϵ_{1}) [\int_{- \infty}^{δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{2}} . . . \int_{- \infty}^{δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{J}} f (ϵ_{2}) . . . f (ϵ_{J}) d ϵ_{2} . . . d ϵ_{J}] d ϵ_{1} = \\ \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{1} + ϵ_{1}) f (ϵ_{1}) (\int_{- \infty}^{δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{2}} f (ϵ_{2}) d ϵ_{2}) . . . (\int_{- \infty}^{δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{J}} f (ϵ_{J}) d ϵ_{J}) d ϵ_{1} = \\ \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{1} + ϵ_{1}) f (ϵ_{1}) F (δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{2}) . . . F (δ_{1} + ϵ_{1} - δ_{J}) d ϵ_{1} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_1} [\max_i(\delta_i + \epsilon_i)] = \hspace{3.25in}\\ \int^{\infty}_{-\infty} (\delta_1 + \epsilon_1)f(\epsilon_1) \left[\int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2} ... \int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J}f(\epsilon_2) ...f(\epsilon_J) d\epsilon_2 ...d\epsilon_J \right] d\epsilon_1 = \\ \int^{\infty}_{-\infty} (\delta_1 + \epsilon_1)f(\epsilon_1) \left(\int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2} f(\epsilon_2)d\epsilon_2 \right) ... \left( \int_{-\infty}^{\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J}f(\epsilon_J) d\epsilon_J \right) d\epsilon_1 = \\ \int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_1 + \epsilon_1\right) f(\epsilon_1) F(\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_2) ...F(\delta_1 + \epsilon_1 - \delta_J) d\epsilon_1 \end{split} \end{equation}$

Il termine di cui sopra è il primo di tali termini in . In particolare, $J$ $E[\max_i \left(\delta_i + \epsilon_i \right)]$

E [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \sum_{i} E_{ϵ \in M_{i}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] .

$\begin{equation} E\left[\max_i \left(\delta_i + \epsilon_i \right)\right] = \sum_i E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right]. \end{equation}$

Ora applichiamo la forma funzionale della distribuzione di Gumbel. Questo da

\begin{aligned} E_{ϵ \in M_{i}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \\ \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{i} + ϵ_{i}) e^{μ - ϵ_{i}} e^{- e^{μ - ϵ_{i}}} \prod_{j \neq i} e^{- e^{μ - ϵ_{i} + δ_{j} - δ_{i}}} d ϵ_{i} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{i} + ϵ_{i}) e^{μ - ϵ_{i}} \prod_{j} e^{- e^{μ - ϵ_{i} + δ_{j} - δ_{i}}} d ϵ_{i} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{i} + ϵ_{i}) e^{μ - ϵ_{i}} \exp {\sum_{j} - e^{μ - ϵ_{i} + δ_{j} - δ_{i}}} d ϵ_{i} \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} (δ_{i} + ϵ_{i}) e^{μ - ϵ_{i}} \exp {- e^{μ - ϵ_{i}} \sum_{j} e^{δ_{j} - δ_{i}}} d ϵ_{i} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \hspace{2in} \\ &\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i\right)e^{\mu - \epsilon_i} e^{- e^{\mu - \epsilon_i}} \prod_{j \neq i} e^{-e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i}}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i\right)e^{\mu - \epsilon_i } \prod_{j } e^{-e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i}}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i \right) e^{\mu - \epsilon_i} \exp \Bigl\{ \sum_{j} -e^{\mu - \epsilon_i + \delta_j - \delta_i} \Bigr\}d\epsilon_i \\ =&\int^{\infty}_{-\infty} \left(\delta_i + \epsilon_i \right) e^{\mu - \epsilon_i} \exp \Bigl\{ -e^{\mu - \epsilon_i } \sum_{j} e^{ \delta_j - \delta_i} \Bigr\}d\epsilon_i \end{split} \end{equation}$

dove il secondo passo viene dalla raccolta di uno dei termini esponenziali nel prodotto, insieme al fatto che se . $\delta_j - \delta_i = 0$ $i = j$

Ora definiamo e facciamo la sostituzione , in modo che e . Nota che siccome avvicina all'infinito, avvicina a 0 e siccome avvicina all'infinito negativo, avvicina all'infinito. $D_i \equiv \sum_j e^{\delta_j - \delta_i}$ $x = D_i\hspace{0.5mm} e^{\mu - \epsilon_i}$ $dx = -D_i e^{\mu - \epsilon_i}d\epsilon_i \Rightarrow -\frac{dx} {D_i} = e^{\mu - \epsilon_i}d\epsilon_i$ $\epsilon_i = \mu - \log\left(\frac{x}{D_i}\right)$ $\epsilon_i$ $x$ $\epsilon_i$ $x$

\begin{aligned} E_{ϵ \in M_{i}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \\ \int_{\infty}^{0} (δ_{i} + μ - \log [\frac{x}{D_{i}}]) (- \frac{1}{D_{i}}) \exp {- x} d x \\ = & \frac{1}{D_{i}} \int_{0}^{\infty} (δ_{i} + μ - \log [\frac{x}{D_{i}}]) e^{- x} d x \\ = & \frac{δ_{i} + μ}{D_{i}} \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x - \frac{1}{D_{i}} \int_{0}^{\infty} \log [x] e^{- x} d x + \frac{\log [D_{i}]}{D_{i}} \int_{0}^{\infty} e^{- x} d x \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \\ &\hspace{3mm}\int^{0}_{\infty} \left(\delta_i + \mu - \log\left[\frac{x}{D_i} \right]\right)\left(-\frac{1}{D_i}\right)\exp\left\{ -x\right\}dx \\ =&\hspace{3mm}\frac{1}{D_i}\int^{\infty}_{0} \left(\delta_i + \mu - \log\left[\frac{x}{D_i} \right]\right)e^{ -x}dx \\ =&\hspace{3mm} \frac{\delta_i + \mu}{D_i}\int^{\infty}_{0} e^{-x}dx -\frac{1}{D_i}\int^{\infty}_{0} \log[x]e^{-x}dx + \frac{\log[D_i]} {D_i} \int^{\infty}_{0}e^{-x}dx\\ \end{split} \end{equation}$

La funzione gamma è definita come . Per i valori di che sono numeri interi positivi, questo equivale a, quindi . Inoltre, è noto che la costante di Eulero-Mascheroni, soddisfa $\Gamma(t) = \int^{\infty}_{0} x^{t - 1}e^{-x}dx$ $t$ $\Gamma(t) = (t - 1)!$ $\Gamma(1) = 0! = 1$ $\gamma \approx 0.57722$

γ = - \int_{0}^{\infty} \log [x] e^{- x} d x .

$\gamma = -\int^{\infty}_{0} \log[x] e^{-x}dx.$

L'applicazione di questi fatti dà

\begin{aligned} E_{ϵ \in M_{i}} [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \frac{δ_{i} + μ + γ + \log [D_{i}]}{D_{i}} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E_{\boldsymbol \epsilon \in M_i}\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \frac{\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]}{D_i} \end{split} \end{equation}$

Quindi sommiamo per ottenere $i$

\begin{aligned} E [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = \sum_{i} \frac{δ_{i} + μ + γ + \log [D_{i}]}{D_{i}} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} &\hspace{3mm} E\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] = \sum_i \frac{\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]}{D_i} \end{split} \end{equation}$

Ricordiamo che . Si noti che le probabilità di scelta del logit familiare sono inversioni di , o in altre parole . Si noti inoltre che . Poi abbiamo $D_i = \sum_j e^{\delta_j - \delta_i} = \frac{\sum_j e^{\delta_j}} {e^{\delta_i}}$ $P_i = \frac{e^{\delta_i}}{\sum_j \delta_j}$ $D_i$ $P_i = 1/D_i$ $\sum_i P_i = 1$

\begin{aligned} E [max_{i} (δ_{i} + ϵ_{i})] = & \sum_{i} P_{i} (δ_{i} + μ + γ + \log [D_{i}]) \\ = & (μ + γ) \sum_{i} P_{i} + \sum_{i} P_{i} δ_{i} + \sum_{i} P_{i} \log [D_{i}] \\ = & μ + γ + \sum_{i} P_{i} δ_{i} + \sum_{i} P_{i} \log [\frac{\sum_{j} e^{δ_{j}}}{e^{δ_{i}}}] \\ = & μ + γ + \sum_{i} P_{i} δ_{i} + \sum_{i} P_{i} \log [\sum_{j} e^{δ_{j}}] - \sum_{i} P_{i} \log [e^{δ_{i}}] \\ = & μ + γ + \sum_{i} P_{i} δ_{i} + \log [\sum_{j} e^{δ_{j}}] \sum_{i} P_{i} - \sum_{i} P_{i} δ_{i} \\ = & μ + γ + \log [\sum_{j} \exp {δ_{j}}] . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \hspace{3mm} E\left[\max_i\left( \delta_i + \epsilon_i \right) \right] =& \sum_i P_i\left(\delta_i + \mu + \gamma + \log[D_i]\right)\\ =&\hspace{2mm} (\mu + \gamma) \sum_i P_i + \sum_i P_i\delta_i + \sum_iP_i \log[D_i] \\ =& \hspace{2mm} \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \sum_i P_i \log\left[\frac{\sum_j e^{\delta_j}} {e^{\delta_i}} \right]\\ =& \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \sum_i P_i \log\left[\sum_j e^{\delta_j}\right] - \sum_i P_i \log[e^{\delta_i}]\\ =& \mu + \gamma + \sum_i P_i \delta_i + \log\left[ \sum_j e^{\delta_j}\right] \sum_i P_i - \sum_i P_i \delta_i \\ =& \mu + \gamma + \log\left[ \sum_j \exp\left\{ \delta_j \right\}\right] .\end{split} \end{equation}$ QED

— Jason
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Ho collegato quello a cui credo sia l'articolo a cui ti riferisci, senza esserne sicuro; si prega di correggere se sbagliato.

— Dougal,

@Jason Sai come dimostrare ciò che è quando il massimo è subordinato al fatto che uno è il massimo? Vedi la domanda qui irrisolta: stats.stackexchange.com/questions/260847/…

— wolfsatthedoor