Esiste una definizione accettata per la mediana di un campione sul piano o spazi ordinati più alti?

E allora? In caso contrario, perché no?

Per un campione sulla linea, la mediana minimizza la deviazione assoluta totale. Sembrerebbe naturale estendere la definizione a R2, ecc., Ma non l'ho mai vista. Ma poi, sono stato fuori nel campo sinistro per molto tempo.

Non sono sicuro che esista una definizione accettata per una mediana multivariata. Quello con cui ho familiarità è il punto mediano di Oja , che minimizza la somma dei volumi di simplices formati su sottoinsiemi di punti. (Vedi il link per una definizione tecnica.)

Aggiornamento: il sito di riferimento per la definizione di Oja sopra ha anche un bel documento che copre una serie di definizioni di una mediana multivariata:

• Misure geometriche della profondità dei dati

Come ha detto @Ars non ci sono definizioni accettate (e questo è un buon punto). Esistono famiglie alternative generali di modi per generalizzare i quantili su , penso che i più significativi siano:$\mathbb{R}^d$

• Generalizzare il processo quantile Sia la misura empirica (= la proporzione di osservazioni in A ). Poi, con A un sottoinsieme ben scelto del Boreliani in R d e$P_n(A)$$A$$\mathbb{A}$$\mathbb{R}^d$$\lambda$ un vero e proprio valore misura, è possibile definire la funzione quantile empirica:

  $U_n(t)=\inf (\lambda(A) : P_n(A)\geq t A\in\mathbb{A})$

  Supponiamo che si può trovare uno che ti dà il minimo. Allora l'insieme (o un elemento del set) A 1 / 2 - ε ∩ A 1 / 2 + ε ti dà la mediana quando ε è fatto abbastanza piccolo. La definizione della mediana viene recuperata quando si utilizza A = ( ] - ∞ , x ] x ∈ R ) e λ ( ] - ∞ , x ] ) $A_{t}$$A_{1/2-\epsilon}\cap A_{1/2+\epsilon}$$\epsilon$$\mathbb{A}=(]-\infty,x] x\in\mathbb{R})$ . Ars$\lambda(]-\infty,x])=x$la risposta rientra in quel quadro immagino ... la posizione del mezzo spazio di tukey può essere ottenuta usando e λ ( H x ) = x (con x ∈ R , un ∈ R$\mathbb{A}(a)=( H_{x}=(t\in \mathbb{R}^d :\; \langle a, t \rangle \leq x )$$\lambda(H_{x})=x$$x\in \mathbb{R}$$a\in\mathbb{R}^d$ ).

• definizione variational e M-stima L'idea qui è che il -quantile Q α di una variabile casuale Y in$\alpha$$Q_{\alpha}$$Y$$\mathbb{R}$ può essere definita attraverso un'uguaglianza variazionale.

  • La definizione più comune sta usando la funzione di regressione quantile (nota anche come perdita di flipper, indovina perché?) Q α = a r g inf x ∈ R E [ ρ α ( Y - x ) ] . Il caso α = 1 / 2 dà ρ 1 / 2 ( y ) = | y | e puoi generalizzare a una dimensione superiore usando l $\rho_{\alpha}$$Q_{\alpha}=arg\inf_{x\in \mathbb{R}}\mathbb{E}[\rho_{\alpha}(Y-x)]$$\alpha=1/2$$\rho_{1/2}(y)=|y|$$l^1$ distanze come fatto in@Srikant Answer . Questa è una mediana teorica ma ti dà una mediana empirica se sostituisci l'attesa con l'attesa empirica (media).

  • Ma Kolshinskii propone di usare la trasformata di Legendre-Fenchel: poiché dove f ( s ) = $Q_{\alpha}=Arg\sup_s (s\alpha-f(s))$pers∈R. Dà molte ragioni profonde per questo (vedi l'articolo;)). Generalizzando questo per dimensioni superiori richiedono che lavora con un vettorialeαe sostituendosαda⟨s,α⟩ma si può prendereα=(1/2,...,1/2).$f(s)=\frac{1}{2}\mathbb{E} [|s-Y|-|Y|+s]$$s\in \mathbb{R}$$\alpha$$s\alpha$$\langle s,\alpha\rangle$$\alpha=(1/2,\dots,1/2)$

• Ordinamento parziale È possibile generalizzare la definizione di quantili in$\mathbb{R}^d$ non appena è possibile creare un ordine parziale (con classi di equivalenza).

Ovviamente ci sono ponti tra le diverse formulazioni. Non sono tutti evidenti ...

Esistono modi distinti per generalizzare il concetto di mediana a dimensioni superiori. Uno non ancora menzionato, ma che è stato proposto molto tempo fa, è quello di costruire uno scafo convesso, staccarlo e iterare il più a lungo possibile: ciò che rimane nell'ultimo scafo è un insieme di punti che tutti i candidati devono essere " mediane ".

"Head banging" è un altro tentativo più recente (c. 1980) di costruire un robusto centro per una nuvola di punti 2D. (Il collegamento è alla documentazione e al software disponibili presso il National Cancer Institute degli Stati Uniti.)

Il motivo principale per cui esistono molteplici generalizzazioni distinte e nessuna soluzione ovvia è che R1 può essere ordinato ma R2, R3, ... non può essere.

Geometric median is the point with the smallest average euclidian distance from the samples

The Tukey halfspace median can be extended to >2 dimensions using DEEPLOC, an algorithm due to Struyf and Rousseeuw; see here for details.

The algorithm is used to approximate the point of greatest depth efficiently; naive methods which attempt to determine this exactly usually run afoul of (the computational version of) "the curse of dimensionality", where the runtime required to calculate a statistic grows exponentially with the number of dimensions of the space.

A definition that comes close to it, for unimodal distributions, is the tukey halfspace median

• http://cgm.cs.mcgill.ca/~athens/Geometric-Estimators/halfspace.html
• http://www.isical.ac.in/~statmath/html/publication/Tukey_tech_rep.pdf
• https://www.isical.ac.in/~statmath/report/11310-15.pdf

I do not know if any such definition exists but I will try and extend the standard definition of the median to $R^2$. I will use the following notation:

$X$, $Y$: the random variables associated with the two dimensions.

$m_x$, $m_y$: the corresponding medians.

$f(x,y)$: the joint pdf for our random variables

To extend the definition of the median to $R^2$, we choose $m_x$ and $m_y$ to minimize the following:

$E(|(x,y) - (m_x,m_y)|$

The problem now is that we need a definition for what we mean by:

$|(x,y) - (m_x,m_y)|$

The above is in a sense a distance metric and several possible candidate definitions are possible.

Eucliedan Metric

$|(x,y) - (m_x,m_y)| = \sqrt{(x-m_x)^2 + (y-m_y)^2}$

Computing the median under the euclidean metric will require computing the expectation of the above with respect to the joint density $f(x,y)$.

Taxicab Metric

$|(x,y) - (m_x,m_y)| = |x-m_x| + |y-m_y|$

Computing the median in the case of the taxicab metric involves computing the median of $X$ and $Y$ separately as the metric is separable in $x$ and $y$.