La funzione delta di Dirac dovrebbe essere considerata una sottoclasse della distribuzione gaussiana?

In Wikidata è possibile collegare distribuzioni di probabilità (come tutto il resto) in un'ontologia, ad esempio, che la distribuzione t è una sottoclasse della distribuzione t non centrale, vedere, ad esempio,

https://angryloki.github.io/wikidata-graph-builder/?property=P279&item=Q209675&iterations=3&limit=3

Esistono vari casi limitanti, ad esempio, quando i gradi di libertà nella distribuzione t vanno all'infinito o quando la varianza si avvicina allo zero per la distribuzione normale (distribuzione gaussiana). In quest'ultimo caso la distribuzione andrà verso la funzione delta di Dirac.

Noto che sulla Wikipedia in inglese il parametro varianza è attualmente dichiarato come maggiore di zero, quindi con un'interpretazione rigorosa non si direbbe che la funzione delta di Dirac sia una sottoclasse della distribuzione normale. Tuttavia, a me sembra abbastanza bene, poiché direi che la distribuzione esponenziale è una superclasse della funzione delta del Dirac.

Ci sono problemi nell'affermare che la funzione delta di Dirac è una sottoclasse della distribuzione gaussiana?

distributions normal-distribution dirac-delta

— Finn Årup Nielsen
fonte

Se dirac delta è una sottoclasse di gaussiana, allora la sua curtosi deve essere 3, giusto?

— Aksakal,

Immagino che se consideriamo il delta di Dirac come una sottoclasse di diverse distribuzioni di probabilità, allora la curtosi è incoerente per il delta di Dirac. Parla contro il delta di Dirac come una sottoclasse di una di queste distribuzioni.

— Finn Årup Nielsen,

Nel contesto di probabilità il delta è descritto come una funzione generalizzata. Non è una normale funzione

— Aksakal

Risposte:

Il delta di Dirac è considerato una distribuzione gaussiana quando è conveniente farlo, e non così considerato quando questo punto di vista ci impone di fare delle eccezioni.

Ad esempio, si dice che godano di una distribuzione gaussiana multivariata se è una variabile casuale gaussiana per tutte le scelte di numeri reali . (Nota: questa è una definizione standard nelle statistiche "avanzate"). Poiché una scelta è , la definizione standard considera la costante (una variabile casuale degenerata) come una variabile casuale gaussiana (con media e varianza ). D'altra parte, ignoriamo il nostro rispetto per il delta di Dirac come distribuzione gaussiana quando stiamo prendendo in considerazione qualcosa del genere $(X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $\sum_i a_iX_i$ $a_1, a_2, \ldots, a_n$ $a_1=a_2=\cdots=a_n=0$ $0$ $0$

"La funzione di distribuzione cumulativa della probabilità (CDF) di una variabile casuale gaussiana a media zero con deviazione standard è dove è il CDF di una variabile casuale gaussiana standard. " $\sigma$

F_{X} (x) = P {X \leq x} = Φ (\frac{x}{σ})

$F_X(x) = P\{X \leq x\} = \Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right)$

Φ (\cdot)

$\Phi(\cdot)$

Si noti che questa affermazione è quasi giusta, ma non del tutto corretta se si considera il delta di Dirac come il caso limite di una sequenza di variabili casuali gaussiane a media zero la cui deviazione standard si avvicina a (e quindi come una variabile casuale gaussiana). Il CDF del delta di Dirac ha valore per mentre $0$ $1$ $x \geq 0$

lim_{σ \to 0} Φ (\frac{x}{σ}) = {\begin{cases} 0, & x < 0, \\ \frac{1}{2}, & x = 0, \\ 1, & x > 0. \end{cases}

$\lim_{\sigma\to 0}\Phi\left(\frac{x}{\sigma}\right) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ \frac 12, & x = 0,\\ 1, & x > 0.\end{cases}$ Ma molte persone ti diranno che considerare un delta di Dirac come una distribuzione gaussiana è una vera e propria assurdità poiché il loro libro dice che la varianza di una variabile casuale gaussiana deve essere un numero positivo (e alcuni di loro voteranno in basso questa risposta per mostrare il loro dispiacere). C'è stata una discussione molto vigorosa e illuminante di questo punto qualche anno fa su stats.SE, ma sfortunatamente era solo nei commenti su una risposta (di @Macro, credo) e non come risposte individuali, e non riesco a trovarla di nuovo .

— Dilip Sarwate
fonte

+1. Non sono sicuro che ci sia un problema relativo al CDF, perché credo che il valore limite di una sequenza di CDF ad ogni salto del limite non abbia importanza. Ci sono due modi per vederlo. Uno è notare che la tua formula limitante non è un CDF valido (non è cadlag). Un altro è da notare che si ottiene una distribuzione di Dirac a quando si lascia contemporaneamente, ma si può escogitare il valore limite di essere compreso tra e (o non avere alcun limite).

0

$0$

(μ, σ) \to (0, 0)

$(\mu,\sigma)\to(0,0)$

Φ_{μ, σ} (0)

$\Phi_{\mu,\sigma}(0)$

0

$0$

1

$1$

— whuber

La conversazione a cui fai riferimento è avvenuta nei commenti di questa risposta , anche se spero sinceramente che per la maggior parte dei lettori la discussione non appaia troppo vigorosa. (+1)

— cardinale

@cardinale Conoscenza approfondita della nostra comunità. Molto bene!

— Matthew Drury,

Le funzioni delta si inseriscono in una teoria matematica delle distribuzioni (che è abbastanza distinta dalla teoria delle distribuzioni di probabilità , la terminologia qui non potrebbe essere più confusa).

In sostanza, le distribuzioni sono funzioni generalizzate. Non possono essere valutati come una funzione, ma possono quindi essere integrati. Più precisamente, una distribuzione è definita come segue $D$

Sia la raccolta di funzioni di test . Una funzione di test è una funzione vera, onesta, divina, con supporto compatto. Una distribuzione è una mappatura lineare $T$ $\theta$ $D: T \rightarrow \mathbb{R}$

Una funzione onesta determina una distribuzione da parte dell'operatore di integrazione $f$

T (θ) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) θ (x) d x

$T(\theta) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\theta(x) dx$

Ci sono distribuzioni che non sono associate a funzioni vere, l'operatore dirac è una di queste

δ (θ) = θ (0)

$\delta(\theta) = \theta(0)$

In questo senso, puoi considerare il dirac un caso limitante delle normali distribuzioni. Se è la famiglia di pdf di distribuzioni normali con zero medio e varianza , quindi per qualsiasi funzione di test $N_t$ $t$ $\theta$

θ (0) = lim_{t \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} N_{t} (x) θ (x) d x

$\theta(0) = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

Questo è probabilmente più comunemente espresso come

θ (0) = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (x) θ (x) d x = lim_{t \to 0} \int_{- \infty}^{+ \infty} N_{t} (x) θ (x) d x

$\theta(0) = \int_{-\infty}^{+\infty} \delta(x) \theta(x) dx = \lim_{t \rightarrow 0} \int_{-\infty}^{+\infty} N_t(x) \theta(x) dx$

che un matematico considererebbe un abuso della notazione, poiché l'espressione realtà non ha alcun senso. Ma ancora una volta, chi sono io per criticare Dirac, chi è il migliore. $\delta(x)$

Naturalmente, se questo fa del dirac un membro della famiglia delle normali distribuzioni è una questione culturale. Qui sto solo dando una ragione per cui potrebbe avere senso considerarlo così.

— Matthew Drury
fonte

Mentre sono d'accordo con le tue dichiarazioni, penso che ciò implichi il contrario. Una funzione delta non è un sottoinsieme di gaussiani. Proprio come un limite di funzioni continue non deve necessariamente essere una funzione continua.

— seanv507,

@ seanv507 Ho fatto del mio meglio per non dichiarare una conclusione in entrambi i modi!

— Matthew Drury,

Pensavo che le distribuzioni siano molto simili alle distribuzioni di probabilità, con una distribuzione delta di Dirac (probabilità) che indica una variabile deterministica ...

— user541686,

Se non si scrivono i limiti degli integrali, questi potrebbero essere confusi integrali indefiniti. Inoltre, questa frase non ha senso: "Una funzione di prova θ è una funzione vera, onesta, divina, con supporto compatto".

— Ogogmad,

@jkabrg Perché non ha senso? Da quando l'ho scritto, è difficile per me vedere che non ha senso.

— Matthew Drury,

-1

No. Non è una sottoclasse della distribuzione normale.

Penso che la confusione derivi da una delle rappresentazioni della funzione Dirac. Ricorda che è definito come segue:

\int_{- \infty}^{\infty} δ (x) d x = 1

$\int_{-\infty}^\infty\delta(x)dx=1$

δ (x) = 0, \forall x \neq 0

$\delta(x)=0,\forall x\ne 0$

È definito come un integrale, il che è fantastico, ma a volte è necessario renderlo operativo da una rappresentazione di funzione piuttosto che da un integrale. Quindi, le persone hanno trovato tutti i tipi di alternative, una delle quali sembra la densità gaussiana:

δ (x) = lim_{σ \to 0} \frac{e^{\frac{- x^{2}}{2 σ^{2}}}}{\sqrt{2 π} σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{\frac{-x^2}{2\sigma^2}}}{\sqrt{2\pi}\sigma}$

Tuttavia, questa non è l'unica rappresentazione , ad esempio c'è questa:

δ (x) = \frac{1}{2 π} \sum_{k = - \infty}^{\infty} e^{i k x}, \forall x \in (- π, π)

$\delta(x)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}, \forall x\in (-\pi,\pi)$

Quindi, è meglio pensare alla funzione di Dirac in termini di definizione integrale e prendere le rappresentazioni di funzioni, come gaussiane, come strumenti di convenienza.

AGGIORNAMENTO Al punto di @ whuber, un esempio ancora migliore è questa rappresentazione del delta di Dirac:

δ (x) = lim_{σ \to 0} \frac{e^{- \frac{| x |}{σ}}}{2 σ}

$\delta(x)=\lim_{\sigma\to 0} \frac{e^{-\frac{|x|}{\sigma}}}{2\sigma}$

Ti sembra la distribuzione di Laplacian ? Non dovremmo considerare quindi il delta di Dirac come una sottoclasse della distribuzione laplaciana?

— Aksakal
fonte

Ad un certo punto di questa risposta sembra che passi dalla discussione sulle distribuzioni alla discussione sulle "funzioni". La domanda si riferisce esplicitamente alle "distribuzioni di probabilità". Questi non sono generalmente dati dalle funzioni di densità, ma possono sempre essere date dalle loro funzioni di distribuzione. La distribuzione di un atomo - il "delta di Dirac" - si adatta magnificamente a tutte le altre distribuzioni gaussiane come caso limitante. (Nella configurazione di Matthew Drury, è definito come quel limite!) Il tuo argomento sembra simile a sostenere che, diciamo, i cerchi non sono ellissi. Applicare tali eccezioni non sembra costruttivo.

— whuber

@whuber, che cos'è la "distribuzione di un atomo"?

— Aksakal,

Un "atomo" è un grumo di probabilità in un singolo punto. Equivalentemente, è la distribuzione di qualsiasi variabile casuale che è costante quasi ovunque.

— whuber

@whuber, Oh, stavo pensando a un atomo fisico. No, il mio punto è che il delta di Dirac non è una sottoclasse di gaussiana, perché può essere rappresentato anche da Laplacian come distro

— Aksakal

Ri: il tuo punto sulle distribuzioni di Laplace. Proprio come un quadrato è sia un rettangolo che un rombo, e la distribuzione Uniforme è sia un caso speciale di una distribuzione Uniforme distribuzione Beta , una distribuzione può appartenere a più famiglie di distribuzioni nominate. Le distribuzioni delta infatti appartengono a ogni famiglia di scala di posizione e almeno una distribuzione delta appartiene a ogni famiglia di scala. Geometricamente, le famiglie sono curve in uno spazio di distribuzioni; una data distribuzione è un punto; e (ovviamente) qualsiasi punto può appartenere a molte curve.

(0, 1)

$(0,1)$

(0, θ)

$(0,\theta)$

(α, β)

$(\alpha,\beta)$

— whuber