Al primo punto di Xi'an: quando parli di -algebre, stai chiedendo insiemi misurabili, quindi purtroppo ogni risposta deve concentrarsi sulla teoria delle misure. Cercherò di risolverlo delicatamente, però.σ
Una teoria della probabilità che ammette tutti i sottoinsiemi di insiemi non numerabili romperà la matematica
Considera questo esempio. Supponiamo di avere un quadrato unitario in e che tu sia interessato alla probabilità di selezionare casualmente un punto che è un membro di un insieme specifico nel quadrato unitario. In molte circostanze, è possibile rispondere prontamente a questo in base a un confronto tra aree delle diverse serie. Ad esempio, possiamo disegnare alcuni cerchi, misurare le loro aree e quindi prendere la probabilità come la frazione del quadrato che cade nel cerchio. Molto semplice.R2
Ma cosa succede se l'area dell'insieme di interesse non è ben definita?
Se l'area non è ben definita, allora possiamo ragionare su due conclusioni diverse ma completamente valide (in un certo senso) su cosa sia l'area. Quindi potremmo avere da un lato e dall'altro, il che implica . Questo rompe tutta la matematica oltre ogni riparazione. Ora puoi provare e un numero di altre cose assurde. Chiaramente questo non è troppo utile.P ( A ) = 0 0 = 1 5 < 0P(A)=1P(A)=00=15<0
σ -algebre sono la patch che risolve la matematica
Che cosa è un -algebra, precisamente? In realtà non è così spaventoso. È solo una definizione di quali set possono essere considerati eventi. Gli elementi non presenti in semplicemente non hanno una misura di probabilità definita. Fondamentalmente, -algebre sono la "patch" che ci consente di evitare alcuni comportamenti patologici della matematica, vale a dire insiemi non misurabili.F σσFσ
I tre requisiti di un campo possono essere considerati come conseguenze di ciò che vorremmo fare con probabilità: Un campo è un insieme che ha tre proprietà:σσσ
- Chiusura sotto sindacati numerabili.
- Chiusura sotto incroci numerabili.
- Chiusura sotto complementi.
Le unioni numerabili e le componenti intersezioni numerabili sono conseguenze dirette del problema dell'insieme non misurabile. La chiusura sotto complementi è una conseguenza degli assiomi di Kolmogorov: se , dovrebbe essere . Ma senza (3), potrebbe accadere che non sia definito. Sarebbe strano. La chiusura sotto complementi e gli assiomi di Kolmogorov ci permettono di dire cose come .P(A)=2/3P(Ac)1/3P(Ac)P(A∪Ac)=P(A)+1−P(A)=1
Infine, stiamo prendendo in considerazione eventi in relazione a , quindi richiediamo ulteriormente cheΩΩ∈F
Buone notizie: -algebre sono strettamente necessarie solo per i set non numerabiliσ
Ma! Ci sono anche buone notizie qui. O, almeno, un modo per aggirare il problema. Abbiamo solo bisogno di -algebras se stiamo lavorando in un set con innumerevoli cardinalità. Se ci limitiamo a set numerabili, allora possiamo prendere il set di potenze di e non avremo nessuno di questi problemi perché per numerabili , consiste solo di set misurabili. (Questo è accennato nel secondo commento di Xi'an.) Noterai che alcuni libri di testo in realtà commetteranno un gioco di prestigio sottile qui, e considereranno insiemi numerabili solo quando discutiamo di spazi di probabilità.σF=2ΩΩΩ2Ω
Inoltre, nei problemi geometrici in , è perfettamente sufficiente considerare solo -algebre composte di insiemi per i quali è definita la misura . Per radicare questo in qualche modo più saldamente, per corrisponde alle solite nozioni di lunghezza, area e volume. Quindi quello che sto dicendo nell'esempio precedente è che l'insieme deve avere un'area ben definita per avere una probabilità geometrica assegnata ad esso. E la ragione è questa: se ammettiamo insiemi non misurabili, allora possiamo finire in situazioni in cui possiamo assegnare la probabilità 1 a un evento in base a una prova e la probabilità 0 allo stesso evento in base a un'altra prova. σ L n L n n=1,2,3RnσLnLnn=1,2,3
Ma non lasciare che la connessione a insiemi non numerabili ti confonda! Un malinteso comune che -algebre sono insiemi numerabili. In effetti, possono essere numerabili o non numerabili. Considera questa illustrazione: come prima, abbiamo un quadrato unitario. DefinisciPuoi disegnare un quadrato con la lunghezza laterale per tutti i e con un angolo in . Dovrebbe essere chiaro che questo quadrato è un sottoinsieme del quadrato dell'unità. Inoltre, tutti questi quadrati hanno un'area definita, quindi questi quadrati sono elementi di . Ma dovrebbe anche essere chiaro che ci sono innumerevoli quadratiF = Tutti i sottoinsiemi del quadrato dell'unità con misura L 2 definita . B s s ∈ ( 0 , 1 ) ( 0 , 0 ) F Bσ
F=All subsets of the unit square with defined L2 measure.
Bss∈(0,1)(0,0)FB : il numero di tali quadrati non è numerabile e ogni quadrato ha definito la misura di Lebesgue.
Quindi, in pratica, semplicemente fare quell'osservazione è spesso sufficiente per rendere l'osservazione che si considerano solo insiemi misurabili di Lebesgue per fare progressi contro il problema di interesse.
Ma aspetta, cos'è un set non misurabile?
Temo di poter fare solo un po 'di luce su questo da solo. Ma il paradosso Banach-Tarski (a volte il paradosso "sole e piselli") può aiutarci:
Data una palla solida nello spazio tridimensionale, esiste una decomposizione della palla in un numero finito di sottoinsiemi disgiunti, che possono quindi essere riuniti in un modo diverso per produrre due copie identiche della palla originale. In effetti, il processo di riassemblaggio prevede solo lo spostamento dei pezzi e la loro rotazione, senza modificarne la forma. Tuttavia, i pezzi stessi non sono "solidi" nel senso comune, ma infinite dispersioni di punti. La ricostruzione può funzionare con un minimo di cinque pezzi.
Una forma più forte del teorema implica che dati due oggetti solidi "ragionevoli" (come una pallina e una pallina enorme), l'uno o l'altro possono essere riassemblati nell'altro. Questo è spesso dichiarato in modo informale come "un pisello può essere tagliato e riassemblato nel Sole" e chiamato "paradosso del pisello e del sole". 1
Quindi se stai lavorando con le probabilità in e stai usando la misura della probabilità geometrica (il rapporto dei volumi), vuoi calcolare la probabilità di qualche evento. Ma avrai difficoltà a definire quella probabilità con precisione, perché puoi riorganizzare i set del tuo spazio per cambiare i volumi! Se la probabilità dipende dal volume e puoi modificare il volume del set in modo che sia la dimensione del sole o la dimensione di un pisello, anche la probabilità cambierà. Quindi nessun evento avrà una singola probabilità attribuita ad esso. Ancora peggio, puoi riorganizzare tale che il volume di abbia , il che implica che la misura della probabilità geometrica riporta una probabilità S∈ΩSV(S)>V(Ω)P(S)>1R3S∈ΩSV(S)>V(Ω)P(S)>1, in flagrante violazione degli assiomi di Kolmogorov che richiedono che la probabilità abbia la misura 1.
Per risolvere questo paradosso, si potrebbe fare una delle quattro concessioni:
- Il volume di un set potrebbe cambiare quando viene ruotato.
- Il volume dell'unione di due insiemi disgiunti potrebbe essere diverso dalla somma dei loro volumi.
- Gli assiomi della teoria degli insiemi Zermelo – Fraenkel con l'assioma della scelta (ZFC) potrebbero dover essere modificati.
- Alcuni set potrebbero essere contrassegnati come "non misurabili" e si dovrebbe verificare se un set è "misurabile" prima di parlare del suo volume.
L'opzione (1) non aiuta a definire le probabilità, quindi è fuori. L'opzione (2) viola il secondo assioma di Kolmogorov, quindi è uscito. L'opzione (3) sembra un'idea terribile perché ZFC risolve molti più problemi di quanti ne crei. Ma l'opzione (4) sembra interessante: se sviluppiamo una teoria di ciò che è e non è misurabile, avremo probabilità ben definite in questo problema! Questo ci riporta alla teoria della misura e al nostro amico -algebra.σ